Elsőfokú egyenlet

Elsőfokú egyenletnek nevezzük azt az egyenletet, amelyet át tudunk alakítani ax + b = 0 alakúra, ahol a ≠ 0. Egy konkrét példa lehet például: 2x + 4 = 0. Ennek az egyenletnek a megoldása a −2, ezt még elég logikusan ki lehet találni. Ha egy kicsit nagyobb számok szerepelnének benne, a kitalálás már nem lenne ilyen egyszerű, ezért szükségünk lesz valamilyen határozottabb eljárásra.

Az elsőfokú egyenlet alapalakja

Pontosabban olyan, egyetlen x ismeretlent tartalmazó egyenletről van szó, amelyet ekvivalens átalakításokkal ax + b = 0 alakra lehet hozni, ahol a ≠ 0. Az ismeretlent nem emeljük hatványra, és nem vonunk belőle gyököt stb. Azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlen törtnek a nevezőjében áll, csak azzal a feltétellel lehet erre az alakra hozni, hogy a nevező nem nulla. Ezért ezeket külön oldjuk meg, lásd a nevezőben ismeretlent tartalmazó elsőfokú egyenletek. Nézd meg néhány különböző elsőfokú egyenlet példáját:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Ahogy látod, az elsőfokú egyenlet nagyon sokféleképpen nézhet ki. Hogy jól meg tudjuk oldani őket, először egyetlen alakra kell hoznunk őket, ezt nevezzük alapalaknak:

$$ax+b=0,$$

ahol x az ismeretlen, az a és a b pedig tetszőleges valós számok, amelyeket az egyenlet együtthatóinak nevezünk. Az a szám azonban nem lehet nulla, vagyis a ≠ 0. Az ax tagot elsőfokú tagnak, a b tagot konstans tagnak nevezzük.

Az elsőfokú egyenlet megoldásakor nem nélkülözhetjük az ekvivalens átalakításokat, vagyis az olyan átalakításokat, amelyek nem változtatják meg az egyenlet megoldását. Nélkülük a bonyolultabb egyenletet nem lehet megoldani. Az egyenletet alapalakra hozhatjuk úgy, hogy átalakítjuk magukat az egyenletben szereplő kifejezéseket, vagy éppen az egyenletek ekvivalens átalakításaival.

Térjünk vissza a fenti példákhoz. Az első egyenlet, a 2x + 7 = 0, már alapalakú, így rögtön látjuk az a = 2 és b = 7 együtthatókat. A második egyenletnél, az x − 2 = 74-nél, ez nem ilyen egyszerű. Egy ekvivalens átalakítással mindkét oldalhoz hozzáadjuk a −74 számot (vagyis mindkét oldalból kivonjuk a 74-et), és megkapjuk az x − 76 = 0 egyenletet. Ez már alapalakú, az együtthatók a = 1 és b = −76.

A harmadik egyenlet még messze van az alapalaktól, de azzal is elbánunk. Először „előállítunk” a jobb oldalon egy nullát: mindkét oldalhoz hozzáadjuk a 12x kifejezést. A jobb oldal ezzel kinullázódik, mert (−12x) + 12x = 0. Az egész egyenlet így fog kinézni:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Most már csak a zárójeleket kell felbontanunk, és az x-es tagokat összevonnunk.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Ez az elsőfokú egyenlet alapalakú, az együtthatói a = −8 és b = 3.

Az utolsó egyenletben meg kell szabadulnunk a törtektől. Az egész egyenletet ezért megszorozzuk 72-vel, amely osztható az összes nevezővel:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

A törteket most egyszerűsítjük:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

A bal oldalon összeadunk, a jobb oldalon összeszorzunk:

$$39x=405x+72$$

Már csak az utolsó lépés van hátra: mindkét oldalból kivonjuk a 405x-et és a 72-t, és az egyenlet alapalakú:

$$-366x-72=0$$

Az együtthatók tehát a = −366 és b = −72.

Hogyan oldjuk meg az elsőfokú egyenletet

Ha az elsőfokú egyenlet alapalakban van, a megoldása már könnyű. Nézzük meg egy példán: 3x − 18 = 0. Miből kell kivonnunk a 18-at, hogy nullát kapjunk? Hát a 18-ból. Tehát ahhoz, hogy a 3x − 18 kifejezés nulla legyen, a 3x-nek 18-cal kell egyenlőnek lennie, mert akkor 18 − 18 = 0. Mikor lesz a 3x egyenlő 18-cal? Pontosan akkor, ha x = 6, mert 3 · 6 = 18.

Hogyan vezetjük le ebből az általános eljárást? Először meg kell tudnunk, mivel kell egyenlőnek lennie az elsőfokú tagnak, az ax-nek. Ezt úgy tudjuk meg, hogy a konstans tagot átvisszük az egyenlet jobb oldalára, vagyis az egyenlethez hozzáadjuk a −b kifejezést. Így az ax + b − b = −b egyenletet kapjuk, ami ugyanaz, mint ax = −b. Az előző példában ez 3x − 18 + 18 = 18, vagyis 3x = 18 lenne. Ne felejtsd el, hogy a b értéke −18 volt, tehát amikor a −b kifejezést adjuk hozzá, akkor a −(−18) kifejezést adjuk hozzá, és ez +18.

Az egyenletünk ax = −b alakú. Hogyan kapjuk meg ebből közvetlenül az x-et? A példában olyan x-et kerestünk, amelyet ha megszorzunk hárommal, 18-at kapunk. Mit csináltunk valójában? Elosztottuk: 18/3 = 6. Vagyis vettük a jobb oldalon álló kifejezést (−b), és elosztottuk az a-val, a példában a hármassal. Az ax = −b egyenletből tehát ezt kapjuk:

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Az egész eljárás az első példára alkalmazva így néz ki:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Geometriai jelentés

Ha az elsőfokú egyenletet alapalakra hozzuk, a bal oldalon egy lineáris függvényt kapunk. A lineáris függvény grafikonja egyenes. Mivel az elsőfokú egyenlet alapalakja ax + b = 0, az egyenlet megoldásai mindazok a pontok, ahol az egyenes (a lineáris függvény grafikonja) metszi az x tengelyt (ami egyúttal az f(x) = 0 függvény, vagyis a jobb oldal grafikonja).

Például kiderült, hogy a 3x − 18 = 0 egyenlet megoldása x = 6. Mit jelent ez? Azt, hogy a 3x − 18 függvény grafikonja az x = 6 pontban metszi az x tengelyt.

Próbáljuk meg grafikusan megoldani az 5x + 2 = 2x − 7 egyenletet. Hogyan járhatunk el? Átalakíthatjuk az egyenletet alapalakra: hozzáadjuk a −2x kifejezést, így 3x + 2 = −7 lesz, majd hozzáadunk 7-et: 3x + 9 = 0. Most felrajzoljuk az y = 3x + 9 lineáris függvény grafikonját, és megnézzük, hol metszi az x tengelyt.

A második módszer az, hogy az egyenletet egyáltalán nem alakítjuk át, hanem lerajzoltatjuk az egyenlet két oldalán álló függvények grafikonját. Vagyis felrajzoljuk az f(x) = 5x + 2 és a g(x) = 2x − 7 függvény grafikonját.

A két egyenes egy pontban metszette egymást, ezt a pontot A-val jelöltük. Mekkora ennek az A pontnak az x koordinátája? Megint x = −3. Az 5x + 2 = 2x − 7 egyenlet grafikus megoldása tehát a bal és a jobb oldalon álló függvények grafikonjai metszéspontjának x koordinátája.

Megoldott feladatok

Első feladat: Oldjuk meg a 7x − 14 = 0 egyenletet. A helyzet egyszerű, az egyenlet alapalakú, ezért csak alkalmazzuk az eljárást:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Második feladat: Oldd meg a 2x + 10 = 0 egyenletet. Az egyenlet megint alapalakú, csak arra kell vigyáznod, hogy a b pozitív, ezért az átalakítás után a jobb oldalon negatív szám jön ki:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Harmadik feladat: Oldd meg a 15 − 3x = 0 egyenletet. Az egyenlet majdnem alapalakú, csak az ismeretlent, az x-et kell az első helyre tennünk. Akkor az egyenlet −3x + 15 = 0 alakú. Itt megint vigyázni kell, mert az elsőfokú tag előtt mínusz van, ami eddig nem fordult elő. Az átalakítások viszont pontosan ugyanazok:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

A feladatot kicsit másképp, hosszabb úton is megoldhatjuk. Ahelyett, hogy az egyenletet rögtön elosztanánk a −3-mal, először megszorozhatjuk −1-gyel, így mindkét mínusztól megszabadulunk. Utána már elosztjuk hárommal:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Negyedik feladat: Oldd meg az elsőfokú egyenletet:

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Ez az egyenlet már kicsit bonyolultabb, mert törtek vannak benne. Először ezektől a törtektől kell megszabadulnunk. A legjobb, ha az egész egyenletet megszorozzuk az összes nevező legkisebb közös többszörösével. Két nevezőnk van, a 4 és a 2. A legkisebb közös többszörösük a 4. Ha nincs kedved kiszámolni, megszorozhatod az egész egyenletet az összes nevező szorzatával, vagyis a 4 · 2 = 8 számmal, de ez nem ajánlott eljárás, mert a következő lépésben megnehezíted a dolgodat. Ha az egyenletet néggyel szorozzuk, a törtektől úgy szabadulunk meg, hogy sorban egyszerűsítjük őket:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Most alapalakra hozzuk az egyenletet: x − 12 = 0, és ebből már látjuk, hogy x = 12.

Ötödik feladat / szöveges feladat: Van két testvér, Tamás és Imre. Imre rögtön a középiskola után dolgozni ment, Tamás viszont még egyetemre járt, amelyet összesen öt évig tanult. Imre minden hónapban 375 000 Ft fizetést kapott. Bár Tamás a nyugágyban fekvés szakirányú rekreológia szakot végezte el, sikerült állami hivatalban állást kapnia, ahol havonta 525 000 Ft-ot kapott. Mennyi idő múlva keres Tamás összesen ugyanannyit, mint Imre? Vagyis a pontosítás kedvéért: öt év alatt Imre 5 · 12 · 375 000 forintot keresett, Tamásnak viszont öt év után egy petákja sincs. Hány hónap múlva lesz ez az összeg egyenlő?

A szövegből felírhatunk egy elsőfokú egyenletet: az x változó a keresett hónapok számát jelenti, ahol x = 0 azt jelenti, hogy nulla hónap telt el Tamás végzése óta.

Először felírjuk azt a függvényt, amely Tamás jövedelmét adja meg a hónapok számának függvényében. Ha például az érdekel minket, mennyi Tamás jövedelme hat hónap után, egyszerűen kiszámoljuk: 525 000 · 6 = 3 150 000 forint. Általában azt írhatjuk, hogy x hónap után Tamás összesen 525 000 · x forintot keresett.

Imrénél ez hasonló lenne: 375 000 · x, de még hozzá kell adnunk azt az összeget, amelyet akkor keresett, amikor Tamás tanult. Tamás öt évig tanult, tehát Imre a tanulás alatt 5 · 12 · 375 000 forintot keresett. Az Imrére vonatkozó teljes hozzárendelési szabály tehát: 5 · 12 · 375 000 + 375 000 · x.

Ezeket a függvényeket egyenletbe írjuk, mert az érdekel minket, mely x-re egyenlő a két kereset:

$$5\cdot 12\cdot 375000+375000\cdot x=525000\cdot x$$

Az egyenletet egyszerűen átalakítjuk: az összes x-et átvisszük az egyenlet egyik oldalára:

$$150000x=5\cdot 12\cdot 375000$$

Végül elosztjuk 150 000-rel:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

150 hónap múlva lesz mindkettőjüknek ugyanannyi pénze. Imre Tamás tanulása alatt szép 5 · 12 · 375 000 = 22 500 000 forintot keresett, plusz a következő 150 hónap alatt 375 000 · 150 = 56 250 000 forintot, ez összesen 22 500 000 + 56 250 000 = 78 750 000 forint. Tamás csak ezt a 150 hónapot dolgozta, és ezalatt 525 000 · 150 = 78 750 000 forintot keresett. Látjuk, hogy az öt év tanulás és a további 150 hónap után valóban mindketten ugyanannyit kerestek.

További feladatok

Oldd meg a következő elsőfokú egyenletet:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Először felbontjuk a zárójelet:

$$2x-14=6$$

Most a bal oldalon meghagyjuk az ismeretlent tartalmazó kifejezést, a jobb oldalra pedig átvisszük az összes többit:

$$2x=20$$

… és végül elosztjuk kettővel.

$$x=10$$

Oldd meg az egyenletet:

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Itt is először felbontjuk a zárójeleket:

$$9-3x+5x-10=0$$

Összevonjuk, amit lehet, az ismeretlent tartalmazó tagokat átvisszük a bal oldalra, a többit a jobb oldalra:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Végül elosztjuk az egész egyenletet kettővel:

$$x=\frac{1}{2}$$