행렬의 계수

행렬의 계수는 행렬에서 독립인 행이나 열의 개수를 나타내는 수이다.

정의

행렬의 계수는 행렬에서 일차독립인 행(열)의 최대 개수이다. 영행렬의 계수는 0이고, 그 밖의 행렬은 계수가 적어도 1이다. m × n 행렬의 계수는 많아야 min(m, n)이다. 즉 행렬의 행이 열보다 적으면 계수는 행의 개수보다 클 수 없다. 열도 마찬가지이다.

행렬의 계수는 보통 영어 단어 ‘rank’로 나타낸다. 그래서 rank(A) = x라고 쓴다.

계수를 구하는 방법

이제 행렬의 계수를 구하는 방법을 보자. 꽤 간단하다. 어떤 행이 일차독립인지 한눈에 보이는 꼴로 행렬을 변형하면 된다. 보통은 행렬을 사다리꼴(대각선 아래가 모두 0인 꼴)로 바꾼다. 그러면 행렬이 어떤 상태인지 보인다. 바로 예를 보자. 다음 행렬이 있다.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & 3 \end{array})$

이 행렬의 계수를 구해야 한다. 여기서 한 가지 작은 사실을 알아 두어야 한다. 0이 아닌 수로 가득 찬 두 행은 이론적으로 일차종속일 수 있다. 확인하려면 계산해야 한다. 하지만 한 행의 어떤 자리에 0이 있고 다른 행의 같은 자리에는 0이 없다면, 두 행은 종속이 아니라고 확실히 말할 수 있다. 그 0에(나아가 그 행 전체에) 어떤 수를 곱해도 다른 행에 있는 수와 같은 수를 만들 수 없기 때문이다. 그래서 언제나 행렬을 사다리꼴로 바꾸어 그런 0을 만들려고 한다.

앞의 문단을 식으로 쓰면 다음과 같다. α₁, α₂ ≠ 0이면 다음이 성립한다.

$α_{1} (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}) + α_{2} (\begin{matrix} 0 & 2 & 3 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 0 & a & b \end{matrix})$

그래서 종속 관계가 쉽게 보이도록 행렬을 이와 비슷한 꼴로 바꾸려고 한다. 예를 보자.

$(\begin{matrix} 4 & - 5 & 1 \\ 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})$

이것은 사다리꼴 행렬이고 일차종속인 행이 없다. 처음 두 행으로 세 번째 행을 나타낼 수 없다. 0이 아닌 계수 알파를 쓰면 앞쪽 자리에 늘 0이 아닌 수가 남기 때문이다.

순서는 보통 다음과 같다. 먼저 첫 번째 열에 0을 만든다(첫 번째 행은 빼고). 그다음 두 번째 열에 0이 생기도록 행렬을 더 변형하고, 그다음 세 번째 열, 이런 식으로 계속해서 마침내 사다리꼴을 얻는다. 0이 아닌 행의 개수를 세면, 짠, 행렬의 계수가 나온다. 다음 연산은 행렬의 계수를 바꾸지 않고 쓸 수 있다.

임의의 두 행을 맞바꾼다.
한 행에 0이 아닌 임의의 식을 곱한다.
한 행을 다른 행에 더한다.
위의 연산은 모두 열에도 쓸 수 있다.

예제

앞의 행렬은 다음과 같이 변형한다. 성분 a₁₁과 a₂₁이 어떤 관계인지 본다. 둘이 같으므로 a₂₁ 자리에 0을 만들려면 첫 번째 행의 −1배를 더해야 한다. 첫 번째 행의 −1배를 두 번째 행에 더한다(즉 두 번째 행에서 첫 번째 행을 뺀다).

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{array})$

원하는 자리에 0이 생겼다. 이제 a₃₁ 자리에도 0을 만들어야 한다. 여기에도 1이 있으므로 첫 번째 행을 빼기만 하면 된다.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array})$

첫 번째 열에 0이 다 생겼으니 신나게 두 번째 열로 넘어가자. 수 a₂₂와 a₃₂는 서로 부호만 반대이므로 두 행을 더하기만 하면 된다.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

영행이 하나 생겼다. 변형은 끝났고 사다리꼴을 얻었다. 이제 0이 아닌 행의 개수를 세면 계수가 나온다. rank A = 2이다. 이 행렬의 계수는 2였다.

두 번째 예제

이번에는 조금 더 큰 행렬의 계수를 구해 보자.

$(\begin{array}{cccc} 7 & 2 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 4 & - 5 & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 10 & - 9 \end{array})$

행렬의 계수는 일차독립인 행의 최대 개수이므로 행렬의 행 순서는 마음대로 바꿔도 된다. 여기서는 계산하기 쉽도록 맨 앞에 1이 있는 행을 맨 위에 두면 좋겠다. 그러니 걱정하지 말고 첫 번째 행과 두 번째 행을 맞바꾸자.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 7 & 2 & 5 & 1 \\ 4 & - 5 & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 10 & - 9 \end{array})$

이제 앞의 예제와 똑같이 한다. 첫 번째 열을 모두 0으로 만들어야 하므로(물론 첫 번째 행은 빼고) 두 번째 행에 첫 번째 행의 −7배를, 세 번째 행에 −4배를, 마지막 행에 −2배를 더한다. 첫 번째 행은 그대로 둔다.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 0 & - 19 & - 30 & 50 \\ 0 & - 17 & - 19 & 28 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \end{array})$

다시 행을 맞바꾼다. 이번에는 두 번째 자리에 있는 2 때문에 마지막 행을 두 번째 행 자리로 가져오는 것이 좋다. 두 번째 행과 네 번째 행을 맞바꾼다.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & - 17 & - 19 & 28 \\ 0 & - 19 & - 30 & 50 \end{array})$

그런데 2 아래에 수 −17과 −19가 있다. 둘 다 2로 나누어떨어지지 않아서 다루기 불편하고, 솔직히 좀 짜증 난다. 그래서 세 번째 행과 네 번째 행에 2를 곱한다.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & - 34 & - 38 & 56 \\ 0 & - 38 & - 60 & 100 \end{array})$

이제 두 번째 열을 0으로 만들도록 변형을 계속할 수 있다. 세 번째 행에 두 번째 행의 17배를, 네 번째 행에 19배를 더한다.

$(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & - 38 & 141 \\ 0 & 0 & - 60 & 195 \end{array})$

자, 다음 변형을 하기에는 꽤 불편한 수가 나왔지만 어떻게든 해 보자. 세 번째 행을 −38로 나눈다.

$(\begin{matrix} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 141 / 38 \\ 0 & 0 & - 60 & 195 \end{matrix})$

이제 세 번째 행에 60을 곱해 네 번째 행에 더한다.

$(\begin{matrix} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 141 / 38 \\ 0 & 0 & 0 & 195 - \frac{60 \cdot 141}{38} \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 5 & - 7 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 141 / 38 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{525}{19} \end{matrix})$

보기 좋지는 않지만 0이 아닌 수가 나왔다. 그러니 이 행렬의 계수는 4이고 일차종속인 행이 하나도 없다.

매개변수가 있는 예제

매개변수 q에 따라 행렬 A의 계수는 어떻게 될까?

$A = (\begin{matrix} 1 & 8 & 17 \\ q & 5 & 8 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix})$

매개변수 q가 있어서 조금 더 어려운 문제이다. q가 어떤 값일 때 행렬이 최대 계수를 가지는지(그런 값이 있다면), 어떤 값일 때 계수가 더 작은지 알아내야 한다. 평소처럼 하되, 때때로 구체적인 값 대신 추상적인 q로 계산한다. 첫 단계로 매개변수 q를 더 좋은 자리, 즉 맨 오른쪽 아래로 옮긴다. 두 번째 행과 세 번째 행을 맞바꾸고, 이어서 첫 번째 열과 마지막 열을 맞바꾼다.

$(\begin{matrix} 1 & 8 & 17 \\ q & 5 & 8 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 8 & 17 \\ 4 & 1 & 3 \\ q & 5 & 8 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 17 & 8 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 8 & 5 & q \end{matrix})$

이제 매개변수가 별로 방해되지 않을 적당한 자리로 옮겨졌다. 하지만 첫 번째 열의 수들은 꽤 불편하다. 그런데 한가운데에 1이 있다. 이 1을 왼쪽 위로 옮기자. 즉 첫 번째 행과 두 번째 행, 첫 번째 열과 두 번째 열을 맞바꾼다.

$(\begin{matrix} 17 & 8 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 8 & 5 & q \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 3 & 1 & 4 \\ 17 & 8 & 1 \\ 8 & 5 & q \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 8 & 17 & 1 \\ 5 & 8 & q \end{matrix})$

이제 보기 좋은 행렬이 되었다. 첫 번째 행에 −8을 곱해 두 번째 행에 더한다.

$(\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 8 & 17 & 1 \\ 5 & 8 & q \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & - 7 & - 31 \\ 5 & 8 & q \end{matrix})$

첫 번째 행에 −5를 곱해 세 번째 행에 더한다.

$(\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & - 7 & - 31 \\ 5 & 8 & q \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & - 7 & - 31 \\ 0 & - 7 & q - 20 \end{matrix})$

좋다, 첫 번째 열은 원하는 대로 되었다. 이제 세 번째 행에 두 번째 행의 −1배를 더한다.

$(\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & - 7 & - 31 \\ 0 & - 7 & q - 20 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & - 7 & - 31 \\ 0 & 0 & q + 11 \end{matrix})$

행렬의 변형이 끝났다. 첫 번째 행과 두 번째 행은 분명히 일차독립이다. 하지만 세 번째 행은 일차종속일 수 있다. 세 번째 행이 모두 0이면, 즉 식 q + 11이 0이 되도록 매개변수 q를 고르면 이 행은 일차종속이다. 분명히 q = −11이면 이 행은 영행이 되고, 따라서 일차종속이다.

그래서 최종 결론은 다음과 같다. q = −11이면 행렬의 계수는 2이고, 그 밖의 경우에는 3이다.

« 이전: 행렬

다음: 역행렬 »