Aturan Cramer

Aturan Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang matriks koefisiennya nonsingular.

Sistem Cramer

Misalkan diberikan sistem persamaan linear Ax = b. Sistem ini disebut sistem Cramer jika A matriks persegi yang nonsingular. Artinya, determinan matriks ini tidak sama dengan nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki baris atau kolom yang bergantung linear.

Menurut teorema Rouché–Capelli, setiap sistem Cramer memiliki tepat satu penyelesaian. Teorema Rouché–Capelli menyatakan bahwa jika rank(A) = rank(A|b) = k, sistem memiliki penyelesaian. Matriks A pada sistem Cramer berbentuk persegi dan memiliki rank maksimum. Artinya, jika pada matriks ini kita tambahkan kolom lain apa pun, kolom tersebut pasti merupakan kombinasi linear kolom-kolom matriks A. Jadi, dengan menambahkan kolom matriks b, rank matriks A tidak bertambah.

Teorema Rouché–Capelli juga menyatakan bahwa untuk menuliskan penyelesaian kita memerlukan n − k parameter, dengan n banyaknya variabel dan k rank matriks rank(A|b). Pada sistem Cramer berlaku n = k, sehingga untuk menuliskan penyelesaian kita memerlukan nol parameter. Karena itu, setiap sistem Cramer memiliki tepat satu penyelesaian.

Selanjutnya, misalkan A_i adalah matriks A yang kolom ke-i-nya diganti dengan kolom b. Secara formal, matriks A_i didefinisikan sebagai berikut:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

dengan a_ij elemen-elemen matriks A dan b_i elemen-elemen matriks b.

Aturan Cramer

Misalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear Cramer. Aturan Cramer menyatakan bahwa sistem ini memiliki tepat satu penyelesaian (x₁, x₂, …, x_n), dengan

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Mari kita langsung lihat aturan ini pada contoh kecil. Kita selesaikan sistem berikut dengan aturan Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Matriks koefisiennya berbentuk:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Determinan matriks ini sama dengan:

$$|A|=3-8=-5.$$

Selanjutnya kita bentuk matriks A₁ dan A₂. Bentuknya:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Kita hitung determinan kedua matriks ini:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Lalu kita hitung x₁ dan x₂ satu per satu. Menurut aturan Cramer, untuk x₁ berlaku

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Setelah disubstitusikan, kita peroleh

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Hal yang sama untuk x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Jadi, penyelesaian sistem persamaan ini adalah pasangan (x₁, x₂) = (3, 1).

Aturan Cramer terutama cocok jika langkah-langkahnya ingin dijadikan algoritma, karena mudah diprogram. Menyelesaikan sistem dengan aturan Cramer secara manual biasanya lebih rumit daripada dengan metode eliminasi Gauss.