Persamaan linear

Persamaan linear adalah persamaan yang dapat diubah menjadi bentuk ax + b = 0, dengan a ≠ 0. Contoh konkretnya bisa seperti ini: 2x + 4 = 0. Penyelesaian persamaan ini adalah bilangan −2, dan hasil ini cukup mudah ditebak. Namun, jika bilangannya sedikit lebih besar, menebak tidak lagi semudah itu, sehingga kita memerlukan langkah-langkah yang lebih pasti.

Bentuk umum persamaan linear

Lebih tepatnya, persamaan linear adalah persamaan dengan satu variabel x yang dapat diubah dengan operasi ekuivalen menjadi bentuk ax + b = 0, dengan a ≠ 0. Variabel di dalamnya tidak dipangkatkan, tidak berada di bawah tanda akar, dan sebagainya. Persamaan dengan variabel di penyebut pecahan hanya dapat diubah menjadi bentuk ini dengan syarat penyebutnya tidak nol. Karena itu, persamaan seperti ini dibahas tersendiri, lihat persamaan linear dengan variabel di penyebut. Perhatikan contoh-contoh persamaan linear berikut:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 7 & = & 0 \\ x - 2 & = & 74 \\ (x + 3) - (7 x \cdot 3) & = & - 12 x \\ \frac{x}{2} + \frac{3 x}{72} & = & x \cdot \frac{45}{8} + 1 \end{array}$

Seperti terlihat, persamaan linear bisa tampil dalam berbagai rupa. Agar mudah diselesaikan, kita perlu menyeragamkannya dulu ke satu bentuk yang disebut bentuk umum:

$a x + b = 0,$

dengan x variabel, sedangkan a dan b sembarang bilangan real yang disebut koefisien persamaan. Bilangan a tidak boleh nol, yaitu a ≠ 0. Bentuk ax disebut suku berderajat satu (suku linear), dan b disebut konstanta.

Untuk menyelesaikan persamaan linear, kita memerlukan operasi ekuivalen, yaitu operasi yang tidak mengubah penyelesaian persamaan. Tanpa operasi ini, persamaan yang lebih rumit tidak dapat diselesaikan. Persamaan dapat diubah ke bentuk umum dengan menyederhanakan bentuk-bentuk aljabar di dalamnya atau dengan operasi ekuivalen pada persamaan.

Kembali ke contoh di atas. Persamaan pertama, 2x + 7 = 0, sudah berbentuk umum, sehingga koefisiennya langsung terlihat: a = 2 dan b = 7. Persamaan kedua, x − 2 = 74, tidak semudah itu. Dengan operasi ekuivalen, kita tambahkan bilangan −74 ke kedua ruas (atau dengan kata lain, kedua ruas kita kurangi 74), sehingga diperoleh x − 76 = 0. Ini sudah bentuk umum dengan koefisien a = 1 dan b = −76.

Persamaan ketiga masih jauh dari bentuk umum, tetapi kita tetap bisa mengatasinya. Pertama, kita “buat” nol di ruas kanan: kedua ruas kita tambah 12x. Ruas kanan menjadi nol, karena (−12x) + 12x = 0. Seluruh persamaan menjadi seperti ini:

$(x + 3) - (7 x \cdot 3) + 12 x = 0$

Sekarang tinggal menghilangkan tanda kurung dan menjumlahkan suku-suku yang memuat x.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) - (7 x \cdot 3) + 12 x & = & 0 \\ x + 3 - 21 x + 12 x & = & 0 \\ - 8 x + 3 & = & 0 \end{array}$

Persamaan linear ini sudah berbentuk umum, dan koefisiennya adalah a = −8 dan b = 3.

Pada persamaan terakhir, kita harus menghilangkan pecahan. Karena itu, seluruh persamaan kita kalikan dengan 72, yaitu bilangan yang habis dibagi oleh semua penyebut:

$72 \cdot \frac{x}{2} + 72 \cdot \frac{3 x}{72} = 72 x \cdot \frac{45}{8} + 72 \cdot 1$

Sekarang pecahan-pecahannya kita sederhanakan:

$36 x + 3 x = 9 x \cdot 45 + 72$

Di ruas kiri kita jumlahkan, di ruas kanan kita kalikan:

$39 x = 405 x + 72$

Tinggal langkah terakhir: kedua ruas kita kurangi 405x dan 72, dan persamaan sudah berbentuk umum:

$- 366 x - 72 = 0$

Jadi, koefisiennya adalah a = −366 dan b = −72.

Cara menyelesaikan persamaan linear

Jika persamaan linear sudah berbentuk umum, penyelesaiannya mudah. Kita lihat pada contoh 3x − 18 = 0. Bilangan berapa yang harus dikurangi 18 agar hasilnya nol? Tentu saja 18 juga. Jadi, agar bentuk 3x − 18 sama dengan nol, bentuk 3x harus sama dengan 18, sehingga diperoleh 18 − 18 = 0. Kapan bentuk 3x sama dengan 18? Hanya jika x = 6, karena 3 · 6 = 18.

Bagaimana kita memperoleh langkah umum dari sini? Pertama, kita harus mengetahui berapa nilai suku berderajat satu ax. Caranya, konstanta kita pindahkan ke ruas kanan, yaitu kedua ruas kita tambah −b. Diperoleh persamaan ax + b − b = −b, yang sama dengan ax = −b. Pada contoh tadi, diperoleh 3x − 18 + 18 = 18, yaitu 3x = 18. Jangan lupa bahwa bilangan b sama dengan b = −18, sehingga jika kita menambahkan −b, kita menambahkan −(−18), yaitu +18.

Persamaan kita sekarang berbentuk ax = −b. Bagaimana memperoleh x secara langsung? Pada contoh, kita mencari x yang jika dikalikan tiga hasilnya 18. Apa yang sebenarnya kita lakukan? Kita membagi 18/3 = 6. Jadi, bentuk di ruas kanan (−b) kita bagi dengan a, pada contoh ini dengan 3. Dari ax = −b diperoleh

$x = \frac{- b}{a} = - \frac{b}{a}$

Seluruh langkah untuk contoh pertama tampak seperti ini. Penulisan /+18 berarti “kedua ruas ditambah 18” dan /:3 berarti “kedua ruas dibagi 3”:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 18 & = & 0 / + 18 \\ 3 x & = & 18 / : 3 \\ x & = & 6 \end{array}$

Makna geometris

Jika persamaan linear kita ubah ke bentuk umum, di ruas kiri diperoleh fungsi linear. Grafik fungsi linear adalah garis lurus. Karena bentuk umum persamaan linear adalah ax + b = 0, penyelesaian persamaan ini adalah titik tempat garis (grafik fungsi linear) memotong sumbu x (sumbu ini sekaligus grafik fungsi f(x) = 0, yaitu ruas kanan).

Misalnya, kita sudah tahu bahwa penyelesaian persamaan 3x − 18 = 0 adalah x = 6. Apa artinya? Grafik fungsi 3x − 18 memotong sumbu x di titik x = 6.

Grafik fungsi y=3x-18 memotong sumbu x di titik x=6

Mari kita coba menyelesaikan persamaan 5x + 2 = 2x − 7 secara grafis. Bagaimana caranya? Persamaan bisa kita ubah ke bentuk umum: kita tambahkan −2x, sehingga diperoleh 3x + 2 = −7, lalu kita tambahkan 7: 3x + 9 = 0. Sekarang kita gambar grafik fungsi linear y = 3x + 9 dan melihat di mana grafik itu memotong sumbu x.

Grafik fungsi y=3x+9 memotong sumbu x di titik x=-3

Cara kedua adalah tidak mengubah persamaan sama sekali, tetapi menggambar grafik fungsi di kedua ruas persamaan. Jadi, kita gambar grafik fungsi f(x) = 5x + 2 dan g(x) = 2x − 7.

Grafik fungsi f(x)=5x+2 dan g(x)=2x-7

Kedua garis ini berpotongan di satu titik yang ditandai A. Berapa absis titik A ini, yaitu koordinat x-nya? Sekali lagi x = −3. Jadi, penyelesaian grafis persamaan 5x + 2 = 2x − 7 adalah absis (koordinat x) titik potong grafik fungsi di ruas kiri dan ruas kanan.

Contoh soal

Contoh 1: Kita selesaikan persamaan 7x − 14 = 0. Soal ini mudah, karena persamaannya sudah berbentuk umum, sehingga kita tinggal menerapkan langkah-langkahnya:

$\begin{array}{rcl} 7 x - 14 & = & 0 / + 14 \\ 7 x & = & 14 / : 7 \\ x & = & 2 \end{array}$

Contoh 2: Selesaikan persamaan 2x + 10 = 0. Persamaan ini juga sudah berbentuk umum. Kamu hanya perlu berhati-hati karena b positif, sehingga setelah diubah, di ruas kanan muncul bilangan negatif:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 10 & = & 0 / - 10 \\ 2 x & = & - 10 / : 2 \\ x & = & - 5 \end{array}$

Contoh 3: Selesaikan persamaan 15 − 3x = 0. Persamaan ini hampir berbentuk umum, kita hanya perlu memindahkan variabel x ke depan. Diperoleh bentuk −3x + 15 = 0. Perhatikan lagi bahwa di depan suku berderajat satu ada tanda minus, yang belum pernah kita temui sebelumnya. Akan tetapi, langkah-langkahnya tetap sama:

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 15 & = & 0 / - 15 \\ - 3 x & = & - 15 / : (- 3) \\ x & = & 5 \end{array}$

Soal ini juga bisa diselesaikan dengan cara lain yang sedikit lebih panjang. Daripada langsung membagi persamaan dengan −3, kita bisa lebih dulu mengalikan kedua ruas dengan −1, sehingga kedua tanda minus hilang. Setelah itu, persamaan tinggal dibagi 3:

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 15 & = & 0 / - 15 \\ - 3 x & = & - 15 / \cdot (- 1) \\ 3 x & = & 15 / : 3 \\ x & = & 5 \end{array}$

Contoh 4: Selesaikan persamaan linear

$3 + \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$

Persamaan ini sedikit lebih rumit, karena memuat pecahan. Pertama, pecahan-pecahan itu harus kita hilangkan. Cara terbaik adalah mengalikan seluruh persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil semua penyebut. Penyebutnya ada dua, yaitu 4 dan 2. KPK-nya adalah 4. Jika kamu malas menghitungnya, seluruh persamaan bisa dikalikan dengan hasil kali semua penyebut, yaitu 4 · 2 = 8. Namun, cara ini tidak dianjurkan, karena langkah berikutnya menjadi lebih sulit. Jika persamaan kita kalikan empat, pecahan-pecahan hilang setelah kita sederhanakan satu per satu:

$\begin{array}{rcl} 3 + \frac{x}{4} & = & \frac{x}{2} / \cdot 4 \\ 4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{x}{4} & = & 4 \cdot \frac{x}{2} \\ 12 + \frac{4 x}{4} & = & \frac{4 x}{2} \\ 12 + x & = & 2 x \end{array}$

Sekarang persamaan kita ubah ke bentuk umum: x − 12 = 0. Dari persamaan ini langsung terlihat bahwa x = 12.

Contoh 5 (soal cerita): Ada dua bersaudara, Budi dan Agus. Agus langsung bekerja setelah lulus SMA, sedangkan Budi masih kuliah di perguruan tinggi selama lima tahun. Agus menerima gaji Rp5 juta setiap bulan. Meskipun Budi lulus dari jurusan “ilmu rebahan” dengan peminatan bersantai di kursi pantai, ia berhasil mendapat pekerjaan sebagai pegawai negeri dengan gaji Rp7 juta per bulan. Setelah berapa lama total penghasilan Budi sama dengan total penghasilan Agus? Supaya jelas: dalam lima tahun Agus memperoleh 5 · 12 · 5.000.000 rupiah, sedangkan Budi setelah lima tahun belum punya penghasilan sama sekali. Setelah berapa bulan jumlah penghasilan keduanya sama?

Dari soal, kita dapat menyusun persamaan linear seperti ini: variabel x menyatakan banyak bulan yang dicari, dengan x = 0 berarti nol bulan sejak Budi lulus.

Pertama, kita susun fungsi yang menyatakan penghasilan Budi berdasarkan banyak bulan. Misalnya, jika kita ingin tahu penghasilan Budi setelah enam bulan, kita cukup menghitung 7.000.000 · 6 = 42.000.000 rupiah. Secara umum, setelah x bulan, Budi memperoleh total 7.000.000 · x rupiah.

Untuk Agus serupa: 5.000.000 · x, tetapi kita masih harus menambahkan jumlah yang ia peroleh selama Budi kuliah. Budi kuliah lima tahun, sehingga selama itu Agus memperoleh 5 · 12 · 5.000.000 rupiah. Jadi, rumus lengkap untuk Agus adalah: 5 · 12 · 5.000.000 + 5.000.000 · x.

Kedua fungsi ini kita tuliskan dalam satu persamaan, karena kita ingin tahu untuk x berapa penghasilan keduanya sama:

$5 \cdot 12 \cdot 5.000 .000 + 5.000 .000 \cdot x = 7.000 .000 \cdot x$

Persamaan ini mudah diubah dengan memindahkan semua suku yang memuat x ke satu ruas:

$2.000 .000 x = 5 \cdot 12 \cdot 5.000 .000$

Terakhir, kedua ruas tinggal kita bagi dengan 2.000.000:

$x = 5 \cdot 12 \cdot 2, 5 = 150$

Setelah 150 bulan, keduanya memiliki jumlah uang yang sama. Selama Budi kuliah, Agus memperoleh 5 · 12 · 5.000.000 = 300.000.000 rupiah, lalu dalam 150 bulan berikutnya ia memperoleh 5.000.000 · 150 = 750.000.000, sehingga totalnya 300.000.000 + 750.000.000 = 1.050.000.000 rupiah. Budi hanya bekerja selama 150 bulan itu dan memperoleh 7.000.000 · 150 = 1.050.000.000 rupiah. Terlihat bahwa setelah lima tahun kuliah dan 150 bulan berikutnya, penghasilan keduanya memang sama.

Contoh soal lainnya

Selesaikan persamaan linear berikut:

$2 \cdot (x - 7) = 6$

Pertama, kita jabarkan tanda kurungnya:

$2 x - 14 = 6$

Sekarang bentuk yang memuat variabel kita biarkan di ruas kiri, dan semua yang lain kita pindahkan ke ruas kanan:

$2 x = 20$

… dan terakhir kita bagi dua.

$x = 10$

Selesaikan persamaan

$3 \cdot (3 - x) + 5 \cdot (x - 2) = 0$

Sekali lagi, pertama kita jabarkan tanda kurungnya:

$9 - 3 x + 5 x - 10 = 0$

Kita jumlahkan suku-suku yang bisa dijumlahkan, lalu variabel kita pindahkan ke ruas kiri dan sisanya ke ruas kanan:

$\begin{array}{rcl} 9 - 3 x + 5 x - 10 & = & 0 \\ 2 x - 1 & = & 0 \\ 2 x & = & 1 \end{array}$

Terakhir, seluruh persamaan kita bagi dua:

$x = \frac{1}{2}$

Daftar isi: Persamaan linear, Persamaan linear dengan variabel di penyebut, Persamaan linear dengan nilai mutlak, Persamaan linear dengan parameter

« Artikel sebelumnya: Operasi ekuivalen pada pertidaksamaan

Artikel berikutnya: Persamaan linear dengan variabel di penyebut »