Sistem persamaan linear homogen

Sistem persamaan disebut homogen jika ruas kanan setiap persamaannya sama dengan nol.

Definisi sistem homogen

Bentuk umum sistem persamaan homogen adalah sebagai berikut:

$$\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& \dots & +& a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1& +& a_{22}{x}_2& +& \dots & +& a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& =& ⋮\\ a_{m1}{x}_1& +& a_{m2}{x}_2& +& \dots & +& a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$$

Sistem ini terdiri atas m persamaan dengan n variabel, dan ruas kanan semua persamaannya sama dengan nol. Jika tidak sama dengan nol, sistem tersebut bukan sistem persamaan homogen. Sistem persamaan di atas dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks dengan menuliskan semua koefisiennya, yaitu semua a_ij, ke dalam matriks pada posisi yang sama seperti dalam sistem. Kolom nol di sebelah kanan tidak perlu ditulis ke dalam matriks, karena tidak ada gunanya. Jadi, seperti ini:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

Matriks ini mewakili sistem m persamaan dengan n variabel yang dijelaskan di atas. Setiap baris matriks ini bersesuaian dengan satu persamaan. Seluruh sistem kemudian dapat ditulis sebagai

$$Ax=0$$

Sifat-sifat dasar sistem

Dari artikel tentang sistem persamaan linear dan dari teorema Rouché–Capelli, kita dapat memperoleh beberapa pernyataan menarik tentang sistem persamaan homogen.

• Setiap sistem homogen memiliki penyelesaian.
• Himpunan semua penyelesaian sistem homogen selalu memuat penyelesaian nol (penyelesaian trivial). Jika untuk semua variabel kita substitusikan nol, kita memperoleh m persamaan 0 = 0.
• Dari teorema Rouché–Capelli kita tahu bahwa untuk menuliskan penyelesaian umum sistem persamaan diperlukan n − k parameter, dengan n banyaknya variabel dan k rank matriks lengkap sistem, dalam kasus kita k = rank(A). Jika n = k, kita tidak memerlukan parameter, dan sistem hanya memiliki satu penyelesaian, yaitu penyelesaian nol. Selain itu, n = k jika dan hanya jika matriks A tidak memuat kolom yang bergantung linear (untuk matriks persegi, artinya matriks tersebut nonsingular).
• Dari poin sebelumnya juga diperoleh bahwa sistem memiliki penyelesaian tak nol (nontrivial) jika dan hanya jika matriks A memuat suatu kolom yang bergantung linear.
• Jika banyak variabel lebih besar daripada banyak persamaan, sistem memiliki penyelesaian tak nol. Jika variabelnya lebih banyak daripada persamaannya, artinya k = rank(A) paling besar sama dengan banyak persamaan, yaitu m. Jika berlaku k < n, maka n − k > 0, sehingga ada penyelesaian lain yang dapat kita gambarkan dengan n − k parameter.

Sifat-sifat himpunan penyelesaian

• Jumlah sembarang penyelesaian sistem Ax = 0 juga merupakan penyelesaian sistem tersebut. Jika x₁ dan x₂ penyelesaian sistem, berlaku Ax₁ = 0 dan Ax₂ = 0, dan menurut pernyataan di atas berlaku juga A(x₁ + x₂) = 0.

Buktinya sederhana. Kita asumsikan bahwa berlaku Ax₁ = 0 dan Ax₂ = 0, lalu kita buktikan A(x₁ + x₂) = 0. Penjumlahan dan perkalian matriks memenuhi sifat distributif, sehingga kita bisa menulis

$$A(x_1+x_2)=A{x}_1+A{x}_2.$$

Namun, menurut asumsi Ax₁ = 0 dan Ax₂ = 0, sehingga bentuk Ax₁ + Ax₂ dapat kita tulis ulang menjadi 0+0. Kita memperoleh persamaan 0 = 0, jadi teorema ini benar.

Secara konkret: jika kita memiliki dua penyelesaian sistem: x₁ = (0, 5, 6) dan x₂ = (7, 3, 5), maka x₃ = x₁ + x₂ = (0 + 7, 5 + 3, 6 + 5) = (7, 8, 11) juga merupakan penyelesaian sistem.

• Untuk setiap konstanta c ∈ ℝ berlaku: c kali penyelesaian sistem juga merupakan penyelesaian. Jika x₁ penyelesaian sistem Ax = 0, maka c · x₁ juga penyelesaian sistem tersebut.

Buktinya juga sederhana. Kita asumsikan bahwa x₁ penyelesaian sistem Ax = 0 dan c ∈ ℝ. Kemudian kita buktikan bahwa berlaku kesamaan

$$A(c{x}_1)=0$$

karena c adalah konstanta, kita dapat mengeluarkannya ke depan seluruh bentuk:

$$A(c{x}_1)=c\cdot A{x}_1$$

Menurut asumsi berlaku Ax₁ = 0, sehingga dari c · Ax₁ kita peroleh c · 0 = 0.

• Akibat dari dua poin sebelumnya, setiap kombinasi linear penyelesaian-penyelesaian sistem juga merupakan penyelesaian sistem tersebut.

Sekarang muncul pertanyaan — jika beberapa penyelesaian hanyalah kombinasi linear penyelesaian lain, apakah ada himpunan penyelesaian yang dapat digunakan untuk membangkitkan semua penyelesaian lainnya?

Mari kita coba menuliskan penyelesaian-penyelesaian sistem ke dalam matriks. Artinya, jika x₁ = (x₁₁, x₁₂, …, x_1n) penyelesaian, x₂ = (x₂₁, x₂₂, …, x_2n) penyelesaian, dan seterusnya untuk x_i, kita bentuk matriks F yang kolom-kolomnya berisi penyelesaian-penyelesaian ini:

$$F=\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& x_{21}& \dots \\ x_{12}& x_{22}& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots \\ x_{1n}& x_{2n}& \dots \end{array}\right)$$

Karena kita dapat membentuk tak hingga banyaknya kombinasi linear yang berbeda, dan dengan demikian juga tak hingga banyaknya penyelesaian, matriks F akan tak berhingga. Sekarang kita ingin tahu apakah matriks F dapat diperkecil sehingga hanya memuat kolom yang banyaknya berhingga, yang dapat digunakan untuk membangkitkan semua penyelesaian lainnya.

Berapa kolom yang tersisa? Matriks F memiliki n baris, karena sistem semula memiliki n variabel, dan setiap kolom mewakili satu penyelesaian. Jadi, rank maksimum matriks F adalah n. Jika matriks F memiliki lebih dari n kolom, pasti paling sedikit satu kolom bergantung linear. Dari sini diperoleh bahwa seluruh himpunan penyelesaian dapat kita tuliskan dalam matriks berukuran paling besar n × n, dan penyelesaian lainnya dapat dihitung dengan kombinasi linear. Kolom tambahan apa pun pasti berlebih. Pertanyaannya, apakah ukuran matriks F masih bisa diperkecil lagi.

Sistem penyelesaian fundamental

Dari teorema Rouché–Capelli kita tahu bahwa penyelesaian umum sistem Ax = 0 dapat dinyatakan dengan n − k parameter, dengan n banyaknya variabel dan k = rank(A). Parameter-parameter ini kita beri lambang t₁, t₂, …, t_{n − k}. Bagaimana kita dapat membangkitkan dua penyelesaian yang bebas linear dengan parameter-parameter ini?

Pada kasus pertama, untuk parameter t₁ kita substitusikan satu dan untuk parameter lainnya nol. Jadi, t₁ = 1 dan t₂ = t₃ = … = t_{n − k} = 0. Pada kasus kedua, kita lakukan hal yang sama, hanya saja angka satu kita pindahkan ke parameter kedua: t₂ = 1 dan t₁ = t₃ = t₄ = … = t_{n − k} = 0. Jika parameter-parameter ini kita substitusikan ke penyelesaian umum, kita memperoleh dua penyelesaian berbeda yang bebas linear.

Contoh: misalkan

$$(t_1,t_2,t_3,2t_1,4t_3)$$

adalah penyelesaian umum suatu sistem persamaan homogen dengan tiga parameter. Untuk pilihan parameter t₁ = 1, t₂ = t₃ = 0 kita memperoleh penyelesaian khusus x₁ = (1, 0, 0, 2, 0), untuk t₁ = t₃ = 0, t₂ = 1 kita memperoleh x₂ = (0, 1, 0, 0, 0), dan untuk t₁ = t₂ = 0, t₃ = 1 kita memperoleh x₃ = (0, 0, 1, 0, 4). Penyelesaian-penyelesaian khusus ini kita tulis ke dalam matriks F:

$$F=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 2& 0& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Dari tiga baris pertama saja sudah jelas terlihat bahwa kolom-kolomnya bebas linear. Jadi, kita telah menyusun tiga penyelesaian khusus berbeda yang saling bebas linear. Selain itu, setiap penyelesaian lain bergantung linear pada ketiganya. Jika kita pilih parameter t₁ = 1, t₂ = 2, t₃ = 0 dan kita hitung penyelesaiannya, kita peroleh x₄ = (1, 2, 0, 2, 0).

Namun, penyelesaian ini dapat dinyatakan sebagai x₁ + 2x₂ = (1, 0, 0, 2, 0) + 2(0, 1, 0, 0, 0) = (1, 2, 0, 2, 0). Hal yang sama berlaku untuk penyelesaian lainnya. Dengan begitu kita memperoleh matriks dengan tiga kolom yang menentukan semua penyelesaian sistem persamaan.

Langkah ini dapat kita perumum. Jika diberikan sistem Ax = 0 dan penyelesaian umumnya yang menggunakan n − k parameter, penyelesaian sistem dapat dinyatakan dengan n − k penyelesaian khusus sistem yang bebas linear. Himpunan penyelesaian seperti ini disebut sistem penyelesaian fundamental.

Penyelesaian-penyelesaian ini dapat diperoleh, misalnya, dengan menyubstitusikan satu untuk setiap parameter t₁, t₂, …, t_{n − k} secara bergantian, sedangkan parameter lainnya nol. Dengan begitu kita memperoleh n − k penyelesaian sistem yang bebas linear.

Namun, ini bukan satu-satunya cara untuk membentuk n − k penyelesaian khusus sistem yang bebas linear. Untuk parameter t_i kita bisa menyubstitusikan bilangan tak nol apa pun, bukan hanya satu, dan tetap memperoleh penyelesaian yang bebas linear.

Sekali lagi, definisi sistem penyelesaian fundamental sistem Ax = 0: sistem penyelesaian fundamental adalah himpunan penyelesaian khusus {x₁, x₂, …, x_{n − k}} sedemikian sehingga

• x₁, x₂, …, x_{n − k} bebas linear,
• setiap penyelesaian sistem Ax = 0 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear penyelesaian khusus x₁, x₂, …, x_{n − k}.

Contoh soal

Selesaikan sistem persamaan homogen berikut dan tentukan sistem penyelesaian fundamentalnya:

$$\begin{array}{ccccccccc}2x_1& -& 5x_2& +& 7x_3& +& x_4& =& 0\\ 4x_1& +& 3x_2& +& x_3& & & =& 0\\ 2x_1& -& 18x_2& +& 20x_3& +& 3x_4& =& 0\\ 8x_1& -& 20x_2& +& 28x_3& +& 4x_4& =& 0\end{array}$$

Matriks koefisien A berbentuk

$$A=\left(\begin{array}{cccc}2& -5& 7& 1\\ 4& 3& 1& 0\\ 2& -18& 20& 3\\ 8& -20& 28& 4\end{array}\right)$$

Kita bisa menghitung determinan matriks ini. Determinannya sama dengan nol. Jadi, matriks koefisiennya singular, dan sistem memiliki penyelesaian tak nol. Kita cari penyelesaian umum sistem dengan metode eliminasi Gauss. Baris terakhir, yaitu baris keempat, sama dengan jumlah tiga baris pertama. Jadi, seluruh baris keempat kita jadikan nol. Kemudian baris pertama kita kalikan tiga, baris kedua kita kalikan minus satu, dan baris ketiga ternyata sama dengan jumlah dua baris pertama:

$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cccc}2& -5& 7& 1\\ 4& 3& 1& 0\\ 2& -18& 20& 3\\ 8& -20& 28& 4\end{array}\right)& \sim & \left(\begin{array}{cccc}2& -5& 7& 1\\ 4& 3& 1& 0\\ 2& -18& 20& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \sim & \left(\begin{array}{cccc}6& -15& 21& 3\\ -4& -3& -1& 0\\ 2& -18& 20& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \sim & \left(\begin{array}{cccc}6& -15& 21& 3\\ -4& -3& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \sim & \left(\begin{array}{cccc}2& -5& 7& 1\\ 4& 3& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

Operasi lebih lanjut sudah tidak berguna. Terlihat bahwa matriks ini memiliki rank dua, rank(A) = 2. Untuk menuliskan penyelesaian umum sistem, kita memerlukan dua parameter, yang kita namakan s dan t. Untuk menuliskan sistem penyelesaian fundamental, kita memerlukan dua penyelesaian khusus.

Sekarang kita sampai pada sistem persamaan berikut:

$$\begin{array}{ccccccccc}2x_1& -& 5x_2& +& 7x_3& +& x_4& =& 0\\ 4x_1& +& 3x_2& +& x_3& & & =& 0\end{array}$$

Dari persamaan kedua kita nyatakan x₃.

$$x_3=-4x_1-3x_2$$

Untuk x₁ dan x₂ kita gunakan parameter, yaitu s = x₁ dan t = x₂. Maka kita bisa menulis x₃ = −4s − 3t. Tinggal menghitung x₄. Nilainya kita peroleh dari persamaan pertama:

$$\begin{array}{rcl}{x}_4& =& -2s+5t-7(-4s-3t)\\ x_4& =& -2s+5t+28s+21t\\ x_4& =& 26s+26t\\ x_4& =& 26(s+t)\end{array}$$

Jadi, penyelesaian umumnya adalah: (s, t, −4s − 3t, 26(s + t)). Untuk memperoleh sistem penyelesaian fundamental, kita harus mencari dua penyelesaian khusus (yaitu dua penyelesaian konkret) yang bebas linear. Keduanya kita peroleh dengan menyubstitusikan untuk parameter-parameternya mula-mula s = 1, t = 0, lalu s = 0, t = 1. Untuk pasangan parameter pertama kita memperoleh penyelesaian khusus

$$X_1=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,0,-4,26)$$

dan untuk pasangan kedua

$$X_2=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,1,-3,26).$$

Kedua penyelesaian ini bebas linear. Karena dalam penyelesaian umum kita menggunakan dua parameter, untuk membentuk sistem fundamental cukup dua penyelesaian khusus. Jadi, sistem penyelesaian fundamentalnya adalah

$$\{(1,0,-4,26),(0,1,-3,26)\}.$$

Kita juga bisa memeriksa bahwa kedua penyelesaian ini benar dengan menyubstitusikannya ke persamaan-persamaan semula. Untuk X₁ kita peroleh persamaan-persamaan berikut:

$$\begin{array}{ccccccccc}2\cdot 1& -& 5\cdot 0& +& 7\cdot (-4)& +& 26& =& 0\\ 4\cdot 1& +& 3\cdot 0& -& 4& & & =& 0\\ 2\cdot 1& -& 18\cdot 0& +& 20\cdot (-4)& +& 3\cdot 26& =& 0\\ 8\cdot 1& -& 20\cdot 0& +& 28\cdot (-4)& +& 4\cdot 26& =& 0\end{array}$$

Setelah disederhanakan, kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}2-28+26& =& 0\\ 4-4& =& 0\\ 2-80+78& =& 0\\ 8-112+104& =& 0\end{array}$$

Terlihat bahwa setiap persamaan menghasilkan 0 = 0. Tampaknya perhitungan kita sudah benar.