Pemfaktoran dengan faktor persekutuan

Sebelum mulai memfaktorkan, kita akan membahas cara menjabarkan tanda kurung, karena hal ini sangat erat kaitannya dengan pemfaktoran. Bahkan bisa dikatakan bahwa pemfaktoran adalah kebalikan langsung dari menjabarkan tanda kurung.

Menjabarkan tanda kurung

Menjabarkan tanda kurung adalah operasi sederhana. Kita lihat dengan contoh: hitunglah 3 · (5 + 8). Ada dua cara. Kita bisa menjumlahkan isi tanda kurung dan memperoleh 3 · 13, karena 5 + 8 = 13.

Cara kedua adalah menjabarkan tanda kurung. Artinya, kita ambil bilangan di depan tanda kurung, yaitu 3, lalu kedua bilangan di dalam tanda kurung kita kalikan dengan bilangan itu. Tanda plus di dalam tanda kurung tetap. Kita peroleh:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Kedua cara menghasilkan hasil yang sama: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Mengapa menjabarkan tanda kurung itu benar

Mengapa cara ini boleh dilakukan, dan mengapa menjabarkan tanda kurung memberikan hasil yang benar? Bayangkan perkalian sebagai penjumlahan yang ditulis lengkap. Misalnya, jika kita menulis 3 · 7, artinya kita ingin menjumlahkan bilangan tujuh sebanyak tiga kali, yaitu 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Dengan cara yang sama, contoh dengan tanda kurung bisa ditulis lengkap: 3 · (5 + 8) sama dengan (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Karena urutan pada penjumlahan tidak berpengaruh, tanda kurungnya bisa dihapus, lalu angka 5 dan angka 8 dikelompokkan seperti ini: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Sekarang terlihat bahwa bentuk ini bisa ditulis ulang dengan perkalian: 3 · 5 + 3 · 8. Itulah yang kita lakukan saat menjabarkan tanda kurung.

Contoh menjabarkan tanda kurung

1. Jabarkan 5 · (4 + 7). Sekali lagi, bilangan-bilangan di dalam tanda kurung cukup dikalikan 5, dan kita peroleh 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Jabarkan 6 · (x + 4). Jangan takut pada variabel. Variabel itu juga cukup dikalikan 6. Kita peroleh: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Jabarkan x · (4 + 173). Sekarang variabelnya ada di depan tanda kurung, jadi kedua bilangan di dalam tanda kurung dikalikan x. Kita peroleh x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Jabarkan 4x · (2x + 7). Sekarang variabel ada di depan dan di dalam tanda kurung, dan bentuk di depan tanda kurung juga lebih rumit. Hal ini tetap tidak masalah. Isi tanda kurung dikalikan 4x seperti ini: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Pemfaktoran sederhana

Pemfaktoran adalah kebalikan dari menjabarkan tanda kurung. Misalkan pada awalnya kita punya bentuk 10x + 5. Jika kita menemukan bilangan yang bisa membagi kedua suku dengan rapi, bilangan itu bisa kita keluarkan sebagai faktor persekutuan. Pada bentuk ini, bilangan itu adalah 5, karena 10x / 5 = 2x dan 5 / 5 = 1. Jadi, kita bisa menulis

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Jika tanda kurung 5 · (2x + 1) kita jabarkan kembali, kita mendapat lagi 10x + 5. Biasanya, tujuan pemfaktoran adalah menyederhanakan suatu bentuk atau mengubahnya menjadi hasil kali, supaya bentuk itu bisa disederhanakan dalam pecahan.

Mengeluarkan variabel sebagai faktor

Yang dikeluarkan tidak harus bilangan. Sering kali variabel itu sendiri yang dikeluarkan sebagai faktor. Jadi, dari bentuk 3x² + 7x kita bisa mengeluarkan faktor x. Artinya, kedua suku dibagi x, lalu ditambah tanda kurung, dan tanda kurung itu dikalikan x. Kita peroleh 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Biasanya kita berusaha mengeluarkan faktor “sebanyak mungkin”. Misalnya, dari bentuk 8x² + 12x kita bisa mengeluarkan faktor x saja dan mendapatkan 8x² + 12x = x · (8x + 12). Namun, terlihat bahwa dari tanda kurung masih bisa dikeluarkan bilangan 4. Hal ini masih bisa kita lakukan belakangan, sehingga kita peroleh x · (4 · (2x + 3)). Tanda kurung luar bisa dihapus, sehingga kita peroleh 4x · (2x + 3).

Hasil yang sama juga kita peroleh jika dari bentuk awal 8x² + 12x kita langsung mengeluarkan faktor 4x. Jika ditulis lengkap, kita peroleh

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Pemfaktoran bentuk yang lebih rumit

Sejauh ini kita hanya memfaktorkan bentuk dengan dua suku. Namun, kita juga bisa memfaktorkan bentuk yang lebih panjang. Misalnya, dari 7x³ + 5x² + 2x kita bisa mengeluarkan faktor x dan memperoleh x · (7x² + 5x + 2).

Faktor yang dikeluarkan juga tidak harus bilangan yang “bagus”. Kita bisa mengeluarkan apa saja. Misalnya, dari bentuk 6x + 7 kita bisa mengeluarkan bilangan 2, tetapi hasilnya kurang rapi, karena kedua suku harus dibagi dua. Untuk 6x hasilnya rapi, karena 6x / 2 = 3x, tetapi untuk bilangan 7 hasilnya tidak terlalu rapi: 7 / 2 = 3,5. Bentuk akhirnya: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Contoh soal

• Faktorkan 25x + 45 dengan rapi. Sekilas terlihat bahwa kita bisa mengeluarkan bilangan 5, sehingga kita peroleh 5 · (5x + 9).

• Sederhanakan pecahan

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Pertama, dari pembilang pecahan kita keluarkan faktor x. Pembilangnya menjadi x · (3x + 7). Sekarang x bisa dicoret dari seluruh pecahan.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Faktorkan −2x² − 8x dengan rapi. Di sini untuk pertama kalinya ada bilangan negatif. Hal ini sama sekali tidak masalah. Seperti bilangan positif, bilangan negatif juga bisa dikeluarkan sebagai faktor. Jadi, kita bisa langsung mengeluarkan faktor −2x. Kita peroleh

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$