Valore assoluto

Il valore assoluto di un numero è sempre un numero non negativo, cioè maggiore o uguale a zero. Se dobbiamo calcolare il valore assoluto di un numero positivo, otteniamo sempre lo stesso numero. Se invece vogliamo trovare il valore assoluto di un numero negativo, otteniamo il suo opposto (cioè il valore assoluto di x, con x < 0, è −x). Il valore assoluto si scrive con due barre verticali: |x|.

Proprietà fondamentali

Anche se sembra che calcolare con i valori assoluti sia un gioco da ragazzi, è piuttosto il contrario: di solito riescono a complicare parecchio una funzione altrimenti semplice. Osserva, ad esempio, le equazioni di primo grado con valore assoluto. Vediamo ancora qualche esempio:

$$\begin{array}{rcl}|5|& =& 5\\ |0|& =& 0\\ |-12|& =& 12\\ |3,14|& =& 3,14\\ |-2,71|& =& 2,71\end{array}$$

Il valore assoluto ha le seguenti proprietà, per i valori x, a, b appartenenti all’insieme dei numeri reali:

1. |x| ≥ 0
2. |a · b| = |a| · |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b

Il valore assoluto dei numeri complessi (il modulo) si calcola in modo diverso.

Grafici

I grafici delle funzioni con il valore assoluto si distinguono perché formano curve «a punta». In questo punto la funzione non è derivabile.