Rapporti

I rapporti si usano di solito quando vogliamo specificare il rapporto tra una sostanza A e una sostanza B. Per esempio, se della sostanza A ce ne deve essere il doppio, la metà e così via. Naturalmente non deve trattarsi per forza di un rapporto tra due sole sostanze: possono entrarne in gioco di più.

Rapporti relativi

I rapporti sono sempre relativi, non sono una grandezza assoluta. Se nella ricetta c’è scritto «aggiungi mezzo chilo di zucchero e un quarto di chilo di carne», è una cosa diversa rispetto a quando c’è scritto «aggiungi un po’ di carne e il doppio dello zucchero». Nel primo caso non ci resta altro da fare che comprare mezzo chilo di zucchero, nel secondo invece basta avere il doppio dello zucchero rispetto alla carne. In entrambi i casi, però, cucineremo un pasticcio immangiabile.

I rapporti si scrivono di solito con i due punti. Per esempio 1:2 oppure 5:4. Che cosa significa questa scrittura? La prima significa che la prima sostanza deve essere presente in quantità pari alla metà della seconda. La seconda dice invece che la sostanza A deve esserci 5 volte, mentre la stessa quantità della sostanza B solo quattro volte.

Se dobbiamo preparare un cocktail alcolico «domani mi pento», in cui il rapporto tra vodka e rum è 5:2, significa che nel bicchiere versiamo 5 cl di vodka e 2 cl di rum. Poiché si tratta di un rapporto, rispettiamo la consegna anche se versiamo 2,5 cl di vodka e 1 cl di rum. Basta insomma che ci sia 2,5 volte più vodka che rum. Al numero 2,5 siamo arrivati dividendo 5 / 2. Se quindi il rapporto tra due sostanze A e B è 5:1, significa che della sostanza A deve essercene cinque volte di più (5 / 1). Nel rapporto 7:3 ce ne sarebbe circa 2,3 volte di più (7 / 3). Nel rapporto 1:1 le sostanze sarebbero in quantità uguali e infine, nel rapporto 2:3, della sostanza B ce ne sarebbe 1,5 volte di più (3 / 2), oppure della sostanza A ce ne sarebbe solo circa 0,67 volte la quantità della sostanza B (2 / 3).

Esempi svolti

Abbiamo nel portafoglio quaranta euro in monete. Inoltre abbiamo in giardino due operai che hanno scavato tutta la notte una fossa per la vicina che continua a sbirciare dalla finestra nel tuo soggiorno. Poiché Tonio ha lavorato più in fretta di Gustavo, riceverà più soldi, e precisamente nel rapporto 7:3. Quanti soldi riceveranno per il loro lavoro macabro, se supponiamo di non essere tirchi e di dare loro tutti i 40 €?

Si calcola facilmente. Abbiamo il rapporto 7:3. Quindi Tonio riceve sette parti, mentre Gustavo solo tre. Sommiamo le parti del rapporto, 7 + 3 = 10, e con questo numero dividiamo i 40 € che vogliamo dare loro: 40 / 10 = 4. Abbiamo così calcolato a quanti euro corrisponde una parte. Tonio deve ricevere sette parti: 4 · 7 = 28 e Gustavo tre parti: 3 · 4 = 12. Ed è risolto: Tonio riceve 28 € e Gustavo 12 €.

Questo è il modo più semplice di risolvere gli esercizi con i rapporti. Un rapporto ci esprime in fondo solo le parti di un certo intero. Se il rapporto è 1:2, significa che della sostanza A c’è 1/3 del totale e della sostanza B 2/3. Sono solo frazioni scritte in un altro modo. Il denominatore si ottiene sommando tutte le parti del rapporto, e al numeratore mettiamo semplicemente le parti date. Se sommiamo tutte le parti, deve venire l’intero, cioè uno. 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. Possiamo esprimerlo anche in percentuali: 33,3% e 66,7% (circa). Un altro semplice esempio:

Giulia e Marco sono amici fin dall’infanzia, ma purtroppo ognuno di loro è andato in un’altra università e per molto tempo sono rimasti lontani. Giulia ha studiato Storia e Marco ha studiato Matematica e Fisica. Dopo anni si sono ritrovati nel loro locale preferito, «Alla Rana Bagnata», e si sono messi a chiacchierare. Giulia ha detto a Marco che da quando non si vedevano aveva avuto sedici partner (Giulia era una ragazza bellissima e anche un po’ leggerina). Ma Marco era furbo e non ha detto a Giulia il numero esatto delle sue ragazze, le ha solo detto che il rapporto tra i partner di lei e le partner di lui è 8:3. Insomma, un matematico… Ma Giulia non aveva soltanto delle misure perfette, 89-61-88, era anche intelligente, così si è messa a calcolare: bene, i miei sedici partner corrispondono all’otto del rapporto che mi ha detto Marco. Quindi, se voglio sapere quanti ragazzi corrispondono a una parte del rapporto, devo dividere 16 / 8 = 2. Quindi a una parte corrispondono due partner. Marco ha tre parti, quindi il numero delle sue partner è due per tre, cioè sei. Marco ha annuito e ha ordinato un altro drink. Dopo quella sera il punteggio di entrambi è salito esattamente di uno, ma questa è un’altra storia.

Sofia lavorava come barista nel locale «Sk8 is Gr8». Una sera si avvicinò al bancone un tizio un po’ brillo che voleva un cocktail speciale. Diede alla barista queste istruzioni: «Bella, lo voglio in un bicchiere da mezzo litro. Voglio succo di banana, cola e caffè. Tutto nel rapporto 5:2:3.» Sofia rimase perplessa, ma il cliente ha sempre ragione. Si mise al lavoro. Per prima cosa sommò tutte le parti del rapporto: 5 + 2 + 3 = 10. In un bicchiere da mezzo litro stanno 500 ml di liquido. Doveva quindi scoprire a quanti millilitri corrisponde una parte del rapporto. Lo scoprì facilmente: 500 / 10 = 50. A una parte corrispondono 50 millilitri. Così nel bicchiere versò 5 · 50 = 250 ml di succo di banana, 2 · 50 = 100 ml di cola e 3 · 50 = 150 ml di caffè. Quando il tizio si ripresentò, chiese la chiave del bagno.

Scala di una carta

Un uso classico dei rapporti è anche la scala di una carta.