Ricavare una variabile da una formula

Come ricavare una variabile da una relazione più complicata o da una frazione. Questa tecnica si usa soprattutto quando si lavora con le varie formule in cui compaiono più variabili. Combinandola con altre formule si possono ottenere risultati sorprendenti: da niente si ricava tutto.

Espressioni lineari semplici

Prendiamo questa formula: ax + b = c. Come isoliamo x in questa formula inventata? Cominciamo sempre portando tutti i termini con la variabile che vogliamo isolare a sinistra e il resto a destra. In teoria non importa da quale parte stia ciascun termine, ma è consuetudine avere a sinistra l’incognita che stiamo ricavando. Quindi per prima cosa spostiamo b a destra, cioè sommiamo −b a entrambi i membri dell’equazione:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

I termini con la variabile sono da una parte sola, ma ci dà ancora fastidio quella a. Come ce ne liberiamo con eleganza? Che cosa dobbiamo fare all’espressione ax per ottenere solo x? Esatto: dividiamo l’espressione, e di conseguenza l’intera equazione, per a, cioè la moltiplichiamo per $\frac{1}{a}$. Il valore di a deve essere diverso da zero (non si può dividere per zero). Facendolo otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Fatto. Un altro esempio:

$$2ax-3bx=10a$$

Anche qui dobbiamo isolare x. I termini con l’incognita sono già a sinistra, quindi abbiamo un po’ di lavoro in meno. La complicazione è che ci sono due termini con l’incognita. Risolviamo la situazione con il raccoglimento a fattor comune. Raccogliamo x al primo membro e otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Nell’esempio precedente avevamo l’espressione ax e volevamo ottenere solo x, così abbiamo moltiplicato l’intera equazione per $\frac{1}{a}$. Ora abbiamo nell’equazione l’espressione x(2a − 3b) e di nuovo vogliamo conoscere x. Facciamo lo stesso: dividiamo l’intera equazione per l’espressione (2a − 3b). Non preoccuparti, possiamo davvero dividere l’equazione per un’intera parentesi, deve solo valere 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Frazioni

Se abbiamo un’espressione con frazioni, usiamo gli stessi principi di equivalenza, solo che dobbiamo fare attenzione a non dividere né moltiplicare per zero per sbaglio. Esempio:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Vogliamo isolare x. Moltiplichiamo l’intera equazione per x: dobbiamo solo aggiungere la condizione x ≠ 0. Questa vale comunque, perché nell’equazione c’è la frazione $\frac{a}{x}$ con x al denominatore, e per zero non si può dividere. Otteniamo così l’equazione:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Quando isoli un’incognita, usa semplicemente i normali principi di equivalenza delle equazioni.