向きのついた角

角の2本の辺は、平面を向きのない2つの角、大きいほうの角と小さいほうの角に分けます（2つが等しい場合を除く）。どちらの角の話をしているのかをはっきりさせるために、向きのついた角という考え方を使います。

なぜ向きのついた角を考えるのか

次の図を見てみましょう。角 AVB がかいてあります。

ここで問題になるのは、どちらの角のことを言っているのかです。直感的には、小さいほうの角だと思ったかもしれません。しかし、大きいほうの角のことを言っている可能性もあります。同じ2本の半直線でできる2つの異なる角を、次の図に示します。

ほかに何も情報がなければ、角 AVB と書いたときに、角 α のことなのか角 β のことなのかを決められません。どの角の話をしているのかを取り決めるために、向きのついた角という考え方が生まれました。

正の向きと負の向き

向きのついた角を使うと、どちらの角のことなのかをはっきりさせられます。それには2つのことを決める必要があります。まず、角の辺を正しい順番で挙げることです。辺が同じ半直線 VA と VB でも、角 AVB と角 BVA は区別します。角 AVB では、半直線 VA を向きのついた角の始線、半直線 VB を動径といいます。共通の点 V を、向きのついた角の頂点といいます。

これで、辺の順番が大切なことはわかりました。しかし、角 AVB をつくるのにどちらの向きに回ればよいのかは、まだわかりません。次の図のように、角 AVB は2つの向きのどちらでもつくれるからです。

始線は半直線 VA です。ここから、2つの向きに角をつくれます。図では緑の矢印と赤い矢印で示しています。2つの向きは、時計の針が回る向きで呼び分けられます。緑の向きは時計の針と反対向き（反時計回り）、赤い向きは時計の針と同じ向き（時計回り）です。

しかし数学では、これらの向きを別の呼び方で表します。正の向きと負の向きです。正の向きは緑の矢印、つまり時計の針の動きと反対の向きです。負の向きは赤い矢印、つまり時計の針の動きと同じ向きです。

次の図にまとめます。

向きのついた角とは

向きのついた角とは、端点が共通な2本の半直線を、順序を考えて組にしたものです。したがって、向きのついた角は、たとえば次のように半直線の組として書けます。

$$⟨\overrightarrow{VA},\overrightarrow{VB}⟩,$$

もっと短く $\widehat{AVB}$ とも書きます。また、半直線 VA と VB が異なれば、角 $\widehat{AVB}$ と $\widehat{BVA}$ も異なります。

ここで、向きのついた角の基本の大きさを定義します。向きのついた角 $\widehat{AVB}$ の基本の大きさとは、始線 VA を正の向き、つまり時計の針の動きと反対の向きに、動径 VB の位置まで回転させたときにできる、向きのない角の大きさです。

基本の大きさは、いつも区間 [0°, 360°) に入ります。この区間は右側が開いていることに注意しましょう。基本の大きさは360°にはなりません。360°の角は0°の角と重なるので、360°のかわりに0°と書くのです。弧度法で考えるなら、角は区間 [0, 2π) に入ります。

基本の大きさのほかに、単に向きのついた角の大きさというものもあります。定義は同じですが、この大きさは基本の大きさより大きくなってもかまいません。角をつくるときに1回転して、さらに始線を回し続ければ、360°より大きい角ができるからです。1回転半すれば、大きさが 360 + 180 = 540 度の角になります。これは、向きのついた角の大きさとして正しいものです。しかし、この角は180°の角と同じ位置になります。

このような向きのついた角の大きさは、どれも基本の大きさに簡単に直せます。大きさを360で割り、その余りを基本の大きさとすればよいのです。540°を基本の大きさに直してみましょう。

$$540÷360=1(\text{余り }180)$$

ほかの大きさでも同じです。たとえば、大きさが750°、1,080°、2,000°の角では、次のようになります。

$$\begin{array}{rcl}750÷360=2& & (\text{余り }30)\\ 1080÷360=3& & (\text{余り }0)\\ 2000÷360=5& & (\text{余り }200)\end{array}$$

これらの角の基本の大きさは、30°、0°、200°です。ラジアンで計算するなら、2π で割ります。