Ориентиран ъгъл

Рамената на ъгъла разделят равнината на два неориентирани ъгъла – един по-голям и един по-малък (ако не са равни). За да знаем за кой ъгъл говорим, въвеждаме понятието ориентиран ъгъл.

Защо въвеждаме ориентиран ъгъл

Погледни следващата фигура, на която е отбелязан ъгълът AVB.

Въпросът сега е кой от ъглите имаме предвид. Може би интуитивно си мислиш, че имам предвид по-малкия ъгъл, но също толкова добре можех да говоря за по-големия. Два различни ъгъла, образувани от два и същи лъча, показва следващата фигура:

Без някаква допълнителна информация не можем да уточним дали под означението ъгъл AVB имаме предвид ъгъла алфа, или бета. За да се разберем за кой ъгъл всъщност говорим, е възникнало понятието ориентиран ъгъл.

Положителна и отрицателна посока

Ориентираният ъгъл ни помага да уточним кой ъгъл имаме предвид. За това трябва да определим две неща. Необходимо е да посочваме рамената на ъгъла в правилния ред. Така разбираме разликата между ъгъла AVB и BVA, макар рамената на ъглите да са едни и същи – лъчите VA и VB. Ако имаме ъгъл AVB, лъчът VA се нарича начално рамо на ориентирания ъгъл, а лъчът VB – крайно рамо на ориентирания ъгъл. Общата точка V се нарича връх на ориентирания ъгъл.

Добре, вече знаем, че редът на рамената на ъгъла има значение. Все още обаче не знаем в каква посока да тръгнем, ако искаме да получим ъгъла AVB. Ъгълът AVB всъщност може да се е получил при въртене в две посоки, както показва следващата фигура:

Началното рамо на ъгъла е лъчът VA. Оттам можем да въртим в две посоки, показани на фигурата със зелената стрелка и с червените стрелки. Посоките можем да назовем по обичайния начин според часовниковата стрелка: зелената посока е обратно на часовниковата стрелка, а червената е по посока на часовниковата стрелка.

В математиката обаче за тези посоки използваме други наименования – положителна и отрицателна посока. Положителната посока съответства на зелената стрелка, т.е. на посоката обратно на движението на часовниковата стрелка. Отрицателната посока съответства на червената стрелка, т.е. е посоката по движението на часовниковата стрелка.

Нагледно го показва следващата фигура:

Какво е ориентиран ъгъл

Ориентираният ъгъл като такъв е наредена двойка лъчи с общо начало. Ориентирания ъгъл бихме могли да записваме като двойка лъчи, например така:

$$(\overrightarrow{VA};\overrightarrow{VB}),$$

но по-кратък запис е този: $\widehat{AVB}$. Освен това, ако лъчите VA и VB са различни, различни са и ъглите $\widehat{AVB}$ и $\widehat{BVA}$.

Сега ще дефинираме основната мярка на ориентиран ъгъл. Основната мярка на ориентирания ъгъл $\widehat{AVB}$ е равна на мярката на неориентирания ъгъл, който се получава при завъртане на началното рамо VA до положението на крайното рамо VB в положителна посока, т.е. обратно на движението на часовниковата стрелка.

Мярката на основния ъгъл е винаги от интервала [0°; 360°). Обърни внимание, че интервалът е отворен отдясно. Основният ъгъл не може да е равен на 360 градуса. Този ъгъл съвпада с ъгъла с мярка нула градуса, затова вместо 360 градуса пишем нула градуса. Ако работим в радианна мярка, ъгълът е от интервала [0; 2π).

Освен основната мярка имаме и просто мярка на ориентиран ъгъл. Определя се по същия начин, само че тази мярка може да е по-голяма от основната. Защото ако образуваме ъгъл и се завъртим на цяла обиколка, а след това продължим да движим началното рамо, можем да получим ъгъл с мярка, по-голяма от 360 градуса. Ако се завъртим на една обиколка и половина, получаваме ъгъл с мярка 360 + 180 = 540 градуса. Това е валидна мярка на ориентиран ъгъл. Този ъгъл обаче е идентичен с ъгъла от 180 градуса.

Всяка такава мярка на ориентиран ъгъл можем лесно да превърнем в основна мярка, като мярката разделим на 360 с остатък и остатъка вземем за основна мярка. Нека опитаме да превърнем онези 540 градуса в основна мярка:

$$540:360=1(\text{остатък }180)$$

По подобен начин и за останалите мерки. Например за ъгли с мярка 750, 1080 и 2000 градуса получаваме:

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{остатък }30)\\ 1080:360=3& & (\text{остатък }0)\\ 2000:360=5& & (\text{остатък }200)\end{array}$$

Ъглите имат основна мярка 30, 0 и 200 градуса. Ако пресмятаме в радиани, делим на 2π.