Irányított szög
A szög szárai két irányítatlan szögre osztják a síkot, egy nagyobbra és egy kisebbre (ha nem egyenlők). Hogy tudjuk, melyik szögről beszélünk, bevezetjük az irányított szög fogalmát.
Miért vezetjük be az irányított szöget
Nézd meg a következő ábrát, amelyen az AVB szög látható.
A kérdés most az, hogy melyik szögre gondolunk. Intuitíve valószínűleg azt feltételezted, hogy a kisebbik szögre gondolok, de akár a nagyobbikról is beszélhetnék. Két különböző szöget, amelyeket ugyanabból a két félegyenesből képeztünk, a következő ábra mutat:
További információ nélkül nem tudjuk megmondani, hogy az AVB szög jelölés alatt az alfa vagy a béta szögre gondolunk-e. Hogy megegyezzünk abban, melyik szögről is beszélünk, született meg az irányított szög fogalma.
Pozitív és negatív irány
Az irányított szög tehát segít meghatározni, melyik szögre gondolunk. Ehhez két dolgot kell definiálnunk. A szög száraira helyes sorrendben kell hivatkozni. Így értjük a különbséget az AVB és a BVA szög között, annak ellenére, hogy a szögek szárai ugyanazok – a VA és a VB félegyenes. Ha adott az AVB szög, a VA félegyenest az irányított szög kezdőszárának, a VB félegyenest az irányított szög végszárának nevezzük. A közös V pont az irányított szög csúcsa.
Rendben, már tudjuk, hogy a szög szárainak sorrendje számít. Még mindig nem tudjuk viszont, melyik irányba kell indulnunk, ha az AVB szöget akarjuk megkapni. Az AVB szög ugyanis két irányból is keletkezhetett, ahogy a következő ábra mutatja:
A szög kiindulási szára a VA félegyenes. Innen két irányba indulhatunk, az ábrán zöld, illetve piros nyilakkal jelölve. Az irányokat elnevezhetjük klasszikusan az óramutató szerint: a zöld irány az óramutató járásával ellentétes, a piros pedig az óramutató járásával megegyező.
A matematikában ezekre az irányokra azonban más elnevezést használunk, a pozitív és a negatív irányt. A pozitív irány a zöld nyílnak felel meg, vagyis az óramutató mozgásával ellentétes iránynak. A negatív irány a piros nyílnak felel meg, tehát az óramutató mozgásával megegyező irány.
Áttekinthetően ezt mutatja a következő ábra:
Mi az az irányított szög
Maga az irányított szög két közös kezdőpontú félegyenes rendezett párja. Az irányított szöget tehát felírhatnánk félegyenesek párjaként, például így:
a rövidebb jelölés azonban ez:
Most definiáljuk az irányított szög alapnagyságát. Az
Az alapszög nagysága mindig a [0°; 360°[ intervallumból való. Figyeld meg, kérlek, hogy az intervallum jobbról nyílt. Az alapszög nem lehet egyenlő 360 fokkal. Ez a szög ugyanis egybeesik a nulla fokos szöggel, ezért 360 fok helyett nulla fokot írunk. Ha ívmértékben mozgunk, akkor a szög a [0; 2π[ intervallumból való.
Az alapnagyságon kívül van még az irányított szög egyszerű nagysága is. Ugyanúgy definiáljuk, csak ez a nagyság lehet nagyobb az alapnagyságnál. Ha ugyanis szöget hozunk létre, és egy teljes kört fordulunk, majd tovább mozgatjuk a kezdőszárat, 360 foknál nagyobb szöget is létrehozhatunk. Ha másfél kört fordulunk, 360 + 180 = 540 fokos szöget kapunk. Ez az irányított szög érvényes nagysága. Ez a szög azonban azonos a 180 fokos szöggel.
Az irányított szög minden ilyen nagyságát könnyen átválthatjuk alapnagyságra úgy, hogy a nagyságot maradékosan elosztjuk 360-nal, és az osztási maradékot vesszük alapnagyságnak. Próbáljuk meg átváltani az említett 540 fokot alapnagyságra:
Hasonlóan a többi nagysággal. Például a 750, 1080 és 2000 fokos szögekre ezt kapjuk:
A szögek alapnagysága 30, 0 és 200 fok. Ha radiánban számolunk, a 2π kifejezéssel osztunk.
Fejezetek: Szög, A szögfelező szerkesztése, Szög másolása, A szög ívmértéke, Irányított szög, A sokszög belső szögeinek összege, Az emelkedés átszámítása szögre
