Yönlü Açı

Açının kolları düzlemi iki yönsüz açıya ayırır: biri daha büyük, biri daha küçük (eşit değillerse). Hangi açıdan söz ettiğimizi bilmek için yönlü açı kavramını getiririz.

Yönlü Açıya Neden İhtiyaç Duyulur

Aşağıdaki şekle bak; burada açı AVB gösterilmiştir.

Şimdi soru, hangi açıyı kastettiğimizdir. Muhtemelen sezgisel olarak küçük açıyı kastettiğimi varsaydın, ama rahatlıkla büyük açıdan da söz edebilirdim. Aynı iki ışından oluşan iki farklı açıyı şu şekil gösteriyor:

Ek bir bilgi olmadan AVB açısı derken alfa açısını mı yoksa beta açısını mı kastettiğimizi belirleyemeyiz. Hangi açıdan söz ettiğimiz konusunda anlaşabilmek için yönlü açı kavramı ortaya çıkmıştır.

Pozitif ve Negatif Yön

Yönlü açı, hangi açıyı kastettiğimizi belirtmemize yardımcı olur. Bunun için iki şeyi tanımlamamız gerekir. Açının kollarını doğru sırayla yazmak şarttır. Böylece kolları aynı olsa da (VA ve VB ışınları) AVB ile BVA açıları arasındaki farkı anlarız. AVB açısında VA ışınına yönlü açının başlangıç kolu, VB ışınına yönlü açının bitim kolu denir. Ortak V noktasına yönlü açının köşesi denir.

Pekâlâ, açının kollarının sırasının önemli olduğunu biliyoruz. Ama AVB açısını elde etmek istiyorsak hangi yöne gideceğimizi hâlâ bilmiyoruz. AVB açısı iki yönde oluşmuş olabilir, şu şekil gösteriyor:

Açının başlangıç kolu VA ışınıdır. Buradan açıyı iki yönde ilerletebiliriz; şekilde yeşil okla ve kırmızı oklarla gösterilmiştir. Yönleri klasik olarak saat ibrelerinin hareketine göre adlandırabiliriz: yeşil yön saat yönünün tersi, kırmızı yön ise saat yönüdür.

Ama matematikte bu yönler için başka bir adlandırma kullanırız: pozitif ve negatif yön. Pozitif yön yeşil oka, yani saat ibrelerinin hareketinin tersi yöne karşılık gelir. Negatif yön kırmızı oka karşılık gelir, yani saat ibrelerinin hareketi yönündedir.

Bunu şu şekil özetliyor:

Yönlü Açı Nedir

Yönlü açının kendisi, ortak başlangıç noktasına sahip sıralı bir ışın çiftidir. Yönlü açıyı bir ışın çifti olarak, örneğin şöyle yazabiliriz:

$$(\overrightarrow{VA},\overrightarrow{VB}),$$

daha kısa yazılışı ise şudur: $\widehat{AVB}$. Ayrıca VA ve VB ışınları farklıysa $\widehat{AVB}$ ve $\widehat{BVA}$ açıları da farklıdır.

Şimdi yönlü açının esas ölçüsünü tanımlayalım. Yönlü $\widehat{AVB}$ açısının esas ölçüsü, başlangıç kolu VA’nın pozitif yönde, yani saat yönünün tersine döndürülerek bitim kolu VB konumuna getirilmesiyle oluşan yönsüz açının ölçüsüne eşittir.

Esas ölçü her zaman [0°, 360°) aralığından alınır. Dikkat et, aralık sağdan açıktır. Esas ölçü 360 dereceye eşit olamaz. Bu açı sıfır derecelik açıyla çakışır, bu yüzden 360 derece yerine sıfır derece yazarız. Radyan cinsinden çalışıyorsak açı [0, 2π) aralığından olur.

Esas ölçünün yanı sıra bir de yönlü açının ölçüsü vardır. Aynı şekilde tanımlanır, yalnızca bu ölçü esas ölçüden büyük olabilir. Çünkü açıyı oluştururken tam bir tur döner ve başlangıç koluyla hareket etmeye devam edersek 360 dereceden büyük bir açı oluşturabiliriz. Bir buçuk tur dönersek 360 + 180 = 540 derecelik bir açı elde ederiz. Bu, yönlü açının geçerli bir ölçüsüdür. Ancak bu açı, 180 derecelik açıyla aynı konumdadır.

Yönlü açının bu tür her ölçüsünü, ölçüyü 360’a bölüp kalanı esas ölçü olarak alarak kolayca esas ölçüye çevirebiliriz. Şu 540 dereceyi esas ölçüye çevirmeyi deneyelim:

$$540:360=1(\text{kalan }180)$$

Diğer ölçüler için de benzer şekilde yapılır. Örneğin 750, 1080 ve 2000 derecelik açılar için şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{kalan }30)\\ 1080:360=3& & (\text{kalan }0)\\ 2000:360=5& & (\text{kalan }200)\end{array}$$

Açıların esas ölçüleri 30, 0 ve 200 derecedir. Radyan cinsinden hesaplıyorsak 2π ile böleriz.