Orientert vinkel

Vinkelbeina deler planet i to vinkler uten orientering, én større og én mindre (hvis de ikke er like store). For å vite hvilken vinkel vi snakker om, innfører vi begrepet orientert vinkel.

Hvorfor innføre en orientert vinkel

Se på følgende figur, der vinkelen AVB er markert.

Spørsmålet nå er hvilken av vinklene vi mener. Intuitivt antok du nok at jeg mener den minste vinkelen, men jeg kunne like gjerne snakket om den største. To ulike vinkler som er dannet av de samme to halvlinjene, vises på følgende figur:

Uten ytterligere opplysninger kan vi ikke si om vi med betegnelsen vinkelen AVB mener vinkelen alfa eller beta. For at vi skal bli enige om hvilken vinkel vi egentlig snakker om, oppstod begrepet orientert vinkel.

Positiv og negativ retning

Den orienterte vinkelen hjelper oss altså å presisere hvilken vinkel vi mener. Til det må vi definere to ting. Vi må oppgi vinkelbeina i riktig rekkefølge. Slik forstår vi forskjellen mellom vinkelen AVB og BVA, selv om vinkelbeina er de samme – halvlinjene VA og VB. Hvis vi har vinkelen AVB, kalles halvlinjen VA startside i den orienterte vinkelen, og halvlinjen VB sluttside i den orienterte vinkelen. Det felles punktet V kalles toppunktet i den orienterte vinkelen.

Greit, nå vet vi at rekkefølgen på vinkelbeina har betydning. Men vi vet fortsatt ikke hvilken retning vi skal gå hvis vi vil få vinkelen AVB. Vinkelen AVB kan nemlig ha oppstått i to retninger, som følgende figur viser:

Startsiden til vinkelen er halvlinjen VA. Herfra kan vi føre vinkelen i to retninger, som er vist med den grønne pilen og de røde pilene på figuren. Vi kan gi retningene navn på vanlig måte etter urviserne: den grønne retningen er mot urviserne, og den røde er med urviserne.

I matematikk bruker vi imidlertid en annen betegnelse for disse retningene, nemlig positiv og negativ retning. Positiv retning svarer til den grønne pilen, altså retningen mot urviserne. Negativ retning svarer til den røde pilen, altså retningen med urviserne.

Følgende figur viser det oversiktlig:

Hva er en orientert vinkel

En orientert vinkel er i seg selv et ordnet par av halvlinjer med felles startpunkt. Vi kunne altså skrive en orientert vinkel som et par av halvlinjer, for eksempel slik:

$$⟨\overrightarrow{VA},\overrightarrow{VB}⟩,$$

men en kortere skrivemåte er denne: $\widehat{AVB}$. Videre gjelder det at hvis halvlinjene VA og VB er ulike, er også vinklene $\widehat{AVB}$ og $\widehat{BVA}$ ulike.

Nå definerer vi hovedverdien av en orientert vinkel. Hovedverdien av den orienterte vinkelen $\widehat{AVB}$ er lik størrelsen på den vinkelen uten orientering som oppstår når vi dreier startsiden VA til posisjonen til sluttsiden VB i positiv retning, altså mot urviserne.

Størrelsen på hovedverdien ligger alltid i intervallet [0°, 360°⟩. Legg merke til at intervallet er åpent til høyre. Hovedverdien kan ikke være lik 360 grader. Denne vinkelen faller nemlig sammen med vinkelen på null grader, så i stedet for 360 grader skriver vi null grader. Hvis vi arbeider med buemål, ligger vinkelen i intervallet [0, 2π⟩.

I tillegg til hovedverdien har vi også bare størrelsen på en orientert vinkel. Den defineres på samme måte, bortsett fra at denne størrelsen kan være større enn hovedverdien. Hvis vi lager en vinkel og dreier en hel runde og fortsetter å flytte startsiden, kan vi nemlig lage en vinkel som er større enn 360 grader. Hvis vi dreier halvannen runde, får vi en vinkel på 360 + 180 = 540 grader. Dette er en gyldig størrelse på en orientert vinkel. Men denne vinkelen er identisk med vinkelen på 180 grader.

Hver slik størrelse på en orientert vinkel kan vi lett regne om til hovedverdien ved å dele størrelsen heltallig på 360 og ta resten etter divisjonen som hovedverdi. La oss prøve å regne om de 540 gradene til hovedverdi:

$$540:360=1(\text{rest }180)$$

På samme måte gjør vi det med andre størrelser. For vinkler på 750, 1080 og 2000 grader får vi for eksempel:

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{rest }30)\\ 1080:360=3& & (\text{rest }0)\\ 2000:360=5& & (\text{rest }200)\end{array}$$

Vinklene har hovedverdiene 30, 0 og 200 grader. Hvis vi regner i radianer, deler vi med uttrykket 2π.