Angle orienté

Les côtés d’un angle partagent le plan en deux angles géométriques, un plus grand et un plus petit (sauf s’ils sont égaux). Pour savoir de quel angle on parle, on introduit la notion d’angle orienté.

Pourquoi introduire l’angle orienté

Regarde la figure suivante, où l’angle $\widehat{AVB}$ est marqué.

La question est maintenant de savoir de quel angle on parle. Tu as sans doute supposé intuitivement qu’il s’agit du plus petit, mais on pourrait tout aussi bien parler du plus grand. La figure suivante montre deux angles différents formés par les deux mêmes demi-droites :

Sans information supplémentaire, on ne peut pas dire si la notation $\widehat{AVB}$ désigne l’angle alpha ou l’angle bêta. Pour s’accorder sur l’angle dont on parle, on a créé la notion d’angle orienté.

Sens positif et sens négatif

L’angle orienté nous aide à préciser de quel angle on parle. Pour cela, il faut définir deux choses. D’abord, il faut donner les côtés de l’angle dans le bon ordre. On comprend ainsi la différence entre l’angle $\widehat{AVB}$ et l’angle $\widehat{BVA}$, bien que les côtés soient les mêmes : les demi-droites [VA) et [VB). Pour l’angle $\widehat{AVB}$, la demi-droite [VA) s’appelle le côté origine de l’angle orienté et la demi-droite [VB) son côté extrémité. Le point commun V s’appelle le sommet de l’angle orienté.

Bien, nous savons maintenant que l’ordre des côtés compte. Mais nous ne savons toujours pas dans quel sens partir pour obtenir l’angle $\widehat{AVB}$. En effet, l’angle $\widehat{AVB}$ a pu être formé dans deux sens, comme le montre la figure suivante :

Le côté origine de l’angle est la demi-droite [VA). À partir de là, on peut tracer l’angle dans deux sens, représentés sur la figure par la flèche verte et par les flèches rouges. On peut nommer ces sens à la manière classique, d’après les aiguilles d’une montre : le sens vert est le sens inverse des aiguilles d’une montre et le sens rouge est le sens des aiguilles d’une montre.

En mathématiques, on utilise cependant une autre dénomination : le sens positif et le sens négatif. Le sens positif correspond à la flèche verte, c’est-à-dire au sens inverse des aiguilles d’une montre. Le sens négatif correspond à la flèche rouge, c’est donc le sens des aiguilles d’une montre.

La figure suivante le montre clairement :

Qu’est-ce qu’un angle orienté

Un angle orienté est un couple ordonné de demi-droites de même origine. On pourrait donc écrire un angle orienté comme un couple de demi-droites, par exemple ainsi :

$$(\overrightarrow{VA};\overrightarrow{VB}),$$

mais une écriture plus courte est la suivante : $\widehat{AVB}$. De plus, si les demi-droites [VA) et [VB) sont différentes, alors les angles $\widehat{AVB}$ et $\widehat{BVA}$ sont eux aussi différents.

Définissons maintenant la mesure principale d’un angle orienté. La mesure principale de l’angle orienté $\widehat{AVB}$ est égale à la mesure de l’angle géométrique obtenu en faisant tourner le côté origine [VA) jusqu’à la position du côté extrémité [VB) dans le sens positif, c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

La mesure de l’angle principal appartient toujours à l’intervalle [0° ; 360°[. Remarque que cet intervalle est ouvert à droite. L’angle principal ne peut pas être égal à 360 degrés. Cet angle coïncide en effet avec l’angle de mesure zéro degré, c’est pourquoi on écrit zéro degré au lieu de 360 degrés. Si on travaille en radians, l’angle appartient à l’intervalle [0 ; 2π[.

En plus de la mesure principale, on a aussi simplement la mesure d’un angle orienté. Elle se définit de la même façon, sauf que cette mesure peut être supérieure à la mesure principale. En effet, si on construit un angle, qu’on fait un tour complet et qu’on continue à faire tourner le côté origine, on peut créer un angle de mesure supérieure à 360 degrés. Si on fait un tour et demi, on obtient un angle de mesure 360 + 180 = 540 degrés. C’est une mesure valide d’un angle orienté. Cependant, cet angle est identique à l’angle de 180 degrés.

On peut facilement ramener chacune de ces mesures d’un angle orienté à la mesure principale : on effectue la division euclidienne de la mesure par 360 et on prend le reste comme mesure principale. Essayons de ramener ces 540 degrés à la mesure principale :

$$540:360=1(\text{reste }180)$$

On procède de même pour les autres mesures. Par exemple, pour les angles de 750, 1 080 et 2 000 degrés, on obtient :

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{reste }30)\\ 1080:360=3& & (\text{reste }0)\\ 2000:360=5& & (\text{reste }200)\end{array}$$

Ces angles ont pour mesure principale 30, 0 et 200 degrés. Si on calcule en radians, on divise par l’expression 2π.