Ángulo orientado
Los lados de un ángulo dividen el plano en dos ángulos no orientados, uno mayor y otro menor (si no son iguales). Para saber de qué ángulo hablamos, introducimos el concepto de ángulo orientado.
Por qué introducir el ángulo orientado
Fíjate en la siguiente figura, donde está marcado el ángulo AVB.
La pregunta ahora es a cuál de los ángulos nos referimos. Intuitivamente habrás supuesto seguramente que me refiero al ángulo menor, pero igual de bien podría hablar del ángulo mayor. La siguiente figura muestra dos ángulos distintos formados por las mismas dos semirrectas:
Sin más información no podemos especificar si con la denominación ángulo AVB nos referimos al ángulo alfa o al beta. Para ponernos de acuerdo sobre de qué ángulo hablamos, surgió el concepto de ángulo orientado.
Sentido positivo y negativo
El ángulo orientado nos ayuda, pues, a especificar a qué ángulo nos referimos. Para ello necesitamos definir dos cosas. Hay que indicar los lados del ángulo en el orden correcto. Así entendemos la diferencia entre el ángulo AVB y BVA, aunque los lados de los ángulos sean los mismos: las semirrectas VA y VB. Si tenemos el ángulo AVB, la semirrecta VA se llama lado inicial del ángulo orientado y la semirrecta VB, lado final del ángulo orientado. El punto común V se llama vértice del ángulo orientado.
Bien, ya sabemos que importa el orden de los lados del ángulo. Pero todavía no sabemos en qué sentido tenemos que ir si queremos obtener el ángulo AVB. El ángulo AVB pudo formarse en dos sentidos, como muestra la siguiente figura:
El lado inicial del ángulo es la semirrecta VA. A partir de ahí podemos trazar el ángulo en dos sentidos, que en la figura se representan con la flecha verde y con las flechas rojas. Podemos nombrar los sentidos de la forma clásica, según las agujas del reloj: el sentido verde es el contrario al de las agujas del reloj y el rojo es el de las agujas del reloj.
En matemáticas, sin embargo, para estos sentidos usamos otra denominación: el sentido positivo y el negativo. El sentido positivo corresponde a la flecha verde, es decir, al sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. El sentido negativo corresponde a la flecha roja, es decir, al sentido del movimiento de las agujas del reloj.
La siguiente figura lo muestra con claridad:
Qué es un ángulo orientado
Un ángulo orientado como tal es un par ordenado de semirrectas con origen común. Podríamos escribir, por tanto, un ángulo orientado como un par de semirrectas, por ejemplo así:
pero la notación más corta es esta:
Definamos ahora la amplitud reducida a la primera vuelta de un ángulo orientado. El ángulo reducido a la primera vuelta de
La amplitud del ángulo reducido a la primera vuelta pertenece siempre al intervalo [0°, 360°). Fíjate en que el intervalo es semiabierto por la derecha. El ángulo reducido no puede ser igual a 360 grados. Ese ángulo coincide con el ángulo de cero grados, por eso en lugar de 360 grados escribimos cero grados. Si trabajamos en la medida en radianes, el ángulo pertenece al intervalo [0, 2π).
Además de la amplitud reducida a la primera vuelta, tenemos también la amplitud del ángulo orientado a secas. Se define igual, solo que esta amplitud puede ser mayor que la reducida. Porque si construimos un ángulo y damos una vuelta entera y seguimos moviendo el lado inicial, podemos crear un ángulo de amplitud mayor que 360 grados. Si damos una vuelta y media, obtenemos un ángulo de amplitud 360 + 180 = 540 grados. Esta es una amplitud válida de un ángulo orientado. Sin embargo, este ángulo es idéntico al ángulo de 180 grados.
Cada una de esas amplitudes de un ángulo orientado se puede convertir fácilmente en la amplitud reducida si dividimos la amplitud entre 360 (división entera) y tomamos el resto de la división como amplitud reducida. Probemos a pasar esos 540 grados a la amplitud reducida:
De forma parecida para las demás amplitudes. Por ejemplo, para ángulos de 750, 1080 y 2000 grados obtenemos:
Los ángulos tienen amplitud reducida de 30, 0 y 200 grados. Si calculamos en radianes, dividimos entre 2π.
Capítulos: Ángulo, Cómo trazar la bisectriz de un ángulo, Cómo transportar un ángulo, Medida de un ángulo en radianes, Ángulo orientado, Suma de los ángulos de un polígono, Cálculo del ángulo a partir de la pendiente
