Angolo orientato
I lati di un angolo dividono il piano in due angoli non orientati, uno più grande e uno più piccolo (se non sono uguali). Per sapere di quale angolo stiamo parlando, introduciamo il concetto di angolo orientato.
Perché introdurre l’angolo orientato
Guarda la figura seguente, in cui è indicato l’angolo AVB.
La domanda ora è: a quale dei due angoli ci riferiamo? Probabilmente hai pensato d’istinto che intendessi l’angolo più piccolo, ma potrei benissimo parlare di quello più grande. La figura seguente mostra due angoli diversi formati dalle stesse due semirette:
Senza ulteriori informazioni non possiamo specificare se con la dicitura angolo AVB intendiamo l’angolo alfa o l’angolo beta. Per metterci d’accordo su quale angolo stiamo parlando, è nato il concetto di angolo orientato.
Verso positivo e negativo
L’angolo orientato ci aiuta quindi a specificare di quale angolo si tratta. Per farlo dobbiamo definire due cose. Prima di tutto, bisogna indicare i lati dell’angolo nell’ordine giusto. Capiamo così la differenza tra l’angolo AVB e BVA, anche se i lati degli angoli sono gli stessi: le semirette VA e VB. Se abbiamo l’angolo AVB, la semiretta VA si chiama lato iniziale dell’angolo orientato e la semiretta VB lato finale dell’angolo orientato. Il punto comune V si chiama vertice dell’angolo orientato.
Bene, sappiamo già che l’ordine dei lati dell’angolo conta. Ma non sappiamo ancora in quale verso muoverci per ottenere l’angolo AVB. L’angolo AVB può infatti essersi formato in due versi, come mostra la figura seguente:
Il lato iniziale dell’angolo è la semiretta VA. Da lì possiamo descrivere l’angolo in due versi, rappresentati nella figura dalla freccia verde e dalle frecce rosse. Possiamo chiamare i versi in modo classico, in base alle lancette dell’orologio: il verso verde è antiorario e quello rosso è orario.
In matematica, però, per questi versi usiamo un’altra denominazione: verso positivo e verso negativo. Il verso positivo corrisponde alla freccia verde, cioè al verso opposto al movimento delle lancette dell’orologio (senso antiorario). Il verso negativo corrisponde alla freccia rossa, quindi al verso delle lancette dell’orologio (senso orario).
La figura seguente lo mostra in modo chiaro:
Che cos’è un angolo orientato
Un angolo orientato è, in sostanza, una coppia ordinata di semirette con origine comune. Potremmo quindi scrivere un angolo orientato come una coppia di semirette, per esempio così:
ma la notazione più breve è questa:
Definiamo ora la misura principale di un angolo orientato. La misura principale dell’angolo orientato
L’ampiezza dell’angolo principale appartiene sempre all’intervallo [0°; 360°). Osserva che l’intervallo è aperto a destra. L’angolo principale non può essere uguale a 360 gradi. Quell’angolo coincide infatti con l’angolo di zero gradi, perciò al posto di 360 gradi scriviamo zero gradi. Se lavoriamo in radianti, l’angolo appartiene all’intervallo [0; 2π).
Oltre alla misura principale abbiamo anche la semplice misura dell’angolo orientato. Si definisce allo stesso modo, solo che questa misura può essere maggiore di quella principale. Se infatti costruiamo un angolo, facciamo un giro completo e continuiamo a muovere il lato iniziale, possiamo creare un angolo di ampiezza maggiore di 360 gradi. Se facciamo un giro e mezzo, otteniamo un angolo di ampiezza 360 + 180 = 540 gradi. Questa è una misura valida di un angolo orientato. Tuttavia, questo angolo è identico all’angolo di 180 gradi.
Ognuna di queste misure di un angolo orientato si può convertire facilmente nella misura principale: dividiamo la misura per 360 (divisione intera) e prendiamo il resto della divisione come misura principale. Proviamo a ricondurre quei 540 gradi alla misura principale:
Allo stesso modo per le altre misure. Per esempio, per angoli di 750, 1080 e 2000 gradi otteniamo:
Gli angoli hanno quindi misura principale di 30, 0 e 200 gradi. Se calcoliamo in radianti, dividiamo per 2π.
Capitoli: Angolo, Come costruire la bisettrice di un angolo, Trasporto di un angolo, Misura in radianti di un angolo, Angolo orientato, Somma degli angoli di un poligono, Dalla pendenza all’angolo
