Ângulo orientado
Os lados de um ângulo dividem o plano em dois ângulos não orientados, um maior e um menor (se não forem iguais). Para saber de qual ângulo estamos falando, introduzimos o conceito de ângulo orientado.
Por que introduzir o ângulo orientado
Observe a figura a seguir, em que está marcado o ângulo AVB.
A pergunta agora é: a qual dos ângulos nos referimos? Intuitivamente você provavelmente supôs que eu estava falando do ângulo menor, mas eu poderia muito bem estar falando do maior. Dois ângulos diferentes formados pelas mesmas duas semirretas aparecem na figura a seguir:
Sem alguma informação adicional não conseguimos especificar se, com a designação ângulo AVB, queremos dizer o ângulo alfa ou o beta. Para combinarmos de qual ângulo estamos realmente falando, surgiu o conceito de ângulo orientado.
Sentidos positivo e negativo
O ângulo orientado nos ajuda, portanto, a especificar de qual ângulo estamos falando. Para isso precisamos definir duas coisas. É preciso indicar os lados do ângulo na ordem correta. Assim entendemos a diferença entre o ângulo AVB e BVA, embora os lados dos ângulos sejam os mesmos — as semirretas VA e VB. Se temos o ângulo AVB, a semirreta VA chama-se lado inicial do ângulo orientado e a semirreta VB, lado final do ângulo orientado. O ponto comum V chama-se vértice do ângulo orientado.
Muito bem, já sabemos que a ordem dos lados do ângulo importa. Mas ainda não sabemos em que sentido seguir para obter o ângulo AVB. É que o ângulo AVB poderia ter sido formado em dois sentidos, como mostra a figura a seguir:
O lado de partida do ângulo é a semirreta VA. A partir dela podemos traçar o ângulo em dois sentidos, indicados na figura pela seta verde e pelas setas vermelhas. Podemos dar nome aos sentidos da maneira clássica, pelos ponteiros do relógio: o sentido verde é o anti-horário e o vermelho é o horário.
Na matemática, porém, usamos para esses sentidos outra designação: sentido positivo e sentido negativo. O sentido positivo corresponde à seta verde, ou seja, ao sentido contrário ao movimento dos ponteiros do relógio. O sentido negativo corresponde à seta vermelha, ou seja, ao sentido do movimento dos ponteiros do relógio.
A figura a seguir mostra isso de forma clara:
O que é um ângulo orientado
O ângulo orientado, propriamente dito, é um par ordenado de semirretas com origem comum. Poderíamos, portanto, escrever o ângulo orientado como um par de semirretas, por exemplo assim:
mas a notação mais curta é esta:
Vamos agora definir a primeira determinação positiva do ângulo orientado. A primeira determinação positiva de
A primeira determinação pertence sempre ao intervalo [0°, 360°[. Repare que o intervalo é aberto à direita. A primeira determinação não pode ser igual a 360 graus. Esse ângulo coincide com o ângulo de zero grau, e por isso, em vez de 360 graus, escrevemos zero grau. Se estamos trabalhando em radianos, então o ângulo pertence ao intervalo [0, 2π[.
Além da primeira determinação, temos também a medida do ângulo orientado em geral. Ela é definida do mesmo modo, só que essa medida pode ser maior que a primeira determinação. Porque, se estamos construindo o ângulo e damos uma volta inteira e continuamos movendo o lado inicial, podemos criar um ângulo de medida maior que 360 graus. Se girarmos uma volta e meia, obtemos um ângulo de 360 + 180 = 540 graus. Essa é uma medida válida de ângulo orientado. No entanto, esse ângulo é idêntico ao ângulo de 180 graus.
Qualquer medida de ângulo orientado pode ser facilmente convertida na primeira determinação: dividimos a medida por 360 (divisão inteira) e tomamos o resto da divisão como a primeira determinação. Vamos converter aqueles 540 graus para a primeira determinação:
O mesmo vale para as outras medidas. Por exemplo, para ângulos de 750, 1080 e 2000 graus obtemos:
Os ângulos têm primeira determinação de 30, 0 e 200 graus. Se calculamos em radianos, dividimos pela expressão 2π.
Capítulos: Ângulo, Como construir a bissetriz de um ângulo, Transporte de um ângulo, Medida de ângulos em radianos, Ângulo orientado, Soma dos ângulos de um polígono, Conversão de inclinação em ângulo
