Orientierter Winkel
Die Schenkel eines Winkels teilen die Ebene in zwei nicht orientierte Winkel, einen größeren und einen kleineren (wenn sie nicht gleich groß sind). Damit klar ist, von welchem Winkel wir sprechen, führen wir den Begriff des orientierten Winkels ein.
Warum man den orientierten Winkel einführt
Sieh dir das folgende Bild an, auf dem der Winkel AVB eingezeichnet ist.
Die Frage ist nun, welchen der Winkel wir meinen. Intuitiv hast du wahrscheinlich angenommen, dass ich den kleineren Winkel meine, ich könnte aber genauso gut vom größeren Winkel sprechen. Zwei verschiedene Winkel, die aus denselben zwei Strahlen entstehen, zeigt das folgende Bild:
Ohne weitere Information können wir nicht festlegen, ob wir mit der Bezeichnung Winkel AVB den Winkel Alpha oder Beta meinen. Damit wir uns verständigen können, von welchem Winkel wir eigentlich sprechen, entstand der Begriff des orientierten Winkels.
Positive und negative Richtung
Der orientierte Winkel hilft uns also festzulegen, welchen Winkel wir meinen. Dazu müssen wir zwei Dinge festlegen. Zum einen müssen die Schenkel des Winkels in der richtigen Reihenfolge angegeben werden. So verstehen wir den Unterschied zwischen den Winkeln AVB und BVA, obwohl die Schenkel der Winkel dieselben sind – die Strahlen VA und VB. Haben wir den Winkel AVB, heißt der Strahl VA Anfangsschenkel des orientierten Winkels und der Strahl VB Endschenkel des orientierten Winkels. Der gemeinsame Punkt V heißt Scheitel des orientierten Winkels.
Gut, wir wissen jetzt, dass es auf die Reihenfolge der Schenkel ankommt. Wir wissen aber immer noch nicht, in welche Richtung wir gehen sollen, wenn wir den Winkel AVB erhalten wollen. Der Winkel AVB konnte nämlich in zwei Richtungen entstehen, wie das folgende Bild zeigt:
Der Startschenkel des Winkels ist der Strahl VA. Von dort können wir den Winkel in zwei Richtungen führen, im Bild durch den grünen Pfeil und die roten Pfeile dargestellt. Die Richtungen können wir klassisch nach den Uhrzeigern benennen: Die grüne Richtung verläuft gegen den Uhrzeigersinn und die rote im Uhrzeigersinn.
In der Mathematik verwenden wir für diese Richtungen aber eine andere Bezeichnung, nämlich die positive und die negative Richtung. Die positive Richtung entspricht dem grünen Pfeil, also der Richtung gegen die Bewegung der Uhrzeiger. Die negative Richtung entspricht dem roten Pfeil, es ist also die Richtung der Bewegung der Uhrzeiger.
Übersichtlich zeigt das das folgende Bild:
Was ein orientierter Winkel ist
Ein orientierter Winkel ist ein geordnetes Paar von Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt. Einen orientierten Winkel könnten wir also als Paar von Strahlen schreiben, zum Beispiel so:
kürzer ist aber diese Schreibweise:
Nun definieren wir den Hauptwert des Winkels. Der Hauptwert des orientierten Winkels
Der Hauptwert des Winkels liegt immer im Intervall [0°; 360°[. Beachte bitte, dass das Intervall rechts offen ist. Der Hauptwert kann nicht gleich 360 Grad sein. Dieser Winkel fällt nämlich mit dem Winkel der Größe null Grad zusammen, deshalb schreiben wir statt 360 Grad null Grad. Bewegen wir uns im Bogenmaß, dann liegt der Winkel im Intervall [0; 2π[.
Neben dem Hauptwert haben wir auch noch die Größe des orientierten Winkels schlechthin. Sie wird genauso definiert, nur kann diese Größe größer sein als der Hauptwert. Wenn wir nämlich den Winkel erzeugen und uns einmal ganz herumdrehen und den Anfangsschenkel weiterbewegen, können wir einen Winkel erzeugen, der größer ist als 360 Grad. Drehen wir uns um anderthalb Umdrehungen, erhalten wir einen Winkel der Größe 360 + 180 = 540 Grad. Das ist eine gültige Größe eines orientierten Winkels. Dieser Winkel ist aber identisch mit dem Winkel von 180 Grad.
Jede solche Größe eines orientierten Winkels können wir leicht in den Hauptwert umrechnen, indem wir die Größe ganzzahlig durch 360 dividieren und den Rest der Division als Hauptwert nehmen. Rechnen wir also die genannten 540 Grad in den Hauptwert um:
Für andere Größen geht es ähnlich. Für Winkel der Größe 750, 1080 und 2000 Grad erhalten wir zum Beispiel:
Die Winkel haben die Hauptwerte 30, 0 und 200 Grad. Rechnen wir im Bogenmaß, dividieren wir durch den Term 2π.
Kapitel: Winkel, Winkelhalbierende konstruieren, Winkel übertragen, Bogenmaß eines Winkels, Orientierter Winkel, Winkelsumme im Vieleck, Steigung in Winkel umrechnen
