Suunnattu kulma

Kulman kyljet jakavat tason kahteen suuntaamattomaan kulmaan, toiseen suurempaan ja toiseen pienempään (ellei niiden suuruus ole sama). Jotta tietäisimme, mistä kulmasta puhumme, otamme käyttöön suunnatun kulman käsitteen.

Miksi suunnattu kulma otetaan käyttöön

Katso seuraavaa kuvaa, johon on merkitty kulma AVB.

Kysymys on nyt, kumpaa kulmista tarkoitamme. Oletit luultavasti intuitiivisesti, että tarkoitan pienempää kulmaa, mutta aivan hyvin voisin puhua myös suuremmasta kulmasta. Kaksi eri kulmaa, jotka muodostuvat samoista kahdesta puolisuorasta, näkyy seuraavassa kuvassa:

Ilman lisätietoa emme pysty määrittelemään, tarkoitammeko merkinnällä kulma AVB kulmaa alfa vai beeta. Jotta voisimme sopia, mistä kulmasta oikeastaan puhumme, syntyi suunnatun kulman käsite.

Positiivinen ja negatiivinen suunta

Suunnattu kulma auttaa siis määrittelemään, kumpaa kulmaa tarkoitamme. Sitä varten on määriteltävä kaksi asiaa. Kulman kyljet on mainittava oikeassa järjestyksessä. Ymmärrämme siis eron kulmien AVB ja BVA välillä, vaikka kulmien kyljet ovat samat — puolisuorat VA ja VB. Jos kulma on AVB, puolisuoraa VA kutsutaan suunnatun kulman alkukyljeksi ja puolisuoraa VB suunnatun kulman loppukyljeksi. Yhteistä pistettä V kutsutaan suunnatun kulman kärjeksi.

Hyvä, tiedämme jo, että kulman kylkien järjestyksellä on väliä. Emme kuitenkaan vielä tiedä, mihin suuntaan on edettävä, jotta saamme kulman AVB. Kulma AVB on nimittäin voinut syntyä kahteen suuntaan, kuten seuraava kuva näyttää:

Kulman lähtökylki on puolisuora VA. Siitä voimme viedä kulmaa kahteen suuntaan, kuvassa vihreällä nuolella ja punaisilla nuolilla. Suunnat voi nimetä perinteisesti kellon viisarien mukaan: vihreä suunta on vastapäivään ja punainen myötäpäivään.

Matematiikassa näille suunnille käytetään kuitenkin toisia nimityksiä: positiivinen ja negatiivinen suunta. Positiivinen suunta vastaa vihreää nuolta eli kellon viisarien liikesuuntaa vastaan. Negatiivinen suunta vastaa punaista nuolta eli on sama kuin kellon viisarien liikesuunta.

Seuraava kuva esittää asian selkeästi:

Mikä suunnattu kulma on

Suunnattu kulma on järjestetty puolisuorapari, jolla on yhteinen alkupiste. Suunnatun kulman voisi siis kirjoittaa puolisuorien parina, esimerkiksi näin:

$$⟨\overrightarrow{VA},\overrightarrow{VB}⟩,$$

lyhyempi merkintä on kuitenkin tämä: $\widehat{AVB}$. Lisäksi pätee, että jos puolisuorat VA ja VB ovat eri puolisuoria, myös kulmat $\widehat{AVB}$ ja $\widehat{BVA}$ ovat eri kulmia.

Määrittelemme nyt suunnatun kulman perusarvon. Suunnatun kulman $\widehat{AVB}$ perusarvo on yhtä suuri kuin sen suuntaamattoman kulman suuruus, joka syntyy, kun alkukylki VA kierretään positiiviseen suuntaan eli kellon viisarien liikettä vastaan loppukyljen VB asentoon.

Perusarvo on aina välillä [0°, 360°[. Huomaa, että väli on oikealta avoin. Perusarvo ei voi olla 360 astetta. Tämä kulma yhtyy nimittäin nolla asteen kulmaan, joten 360 asteen sijaan kirjoitamme nolla astetta. Jos käytämme kaarimittaa, kulma on välillä [0, 2π[.

Perusarvon lisäksi on myös pelkkä suunnatun kulman suuruus. Se määritellään samalla tavalla, mutta tämä suuruus voi olla perusarvoa suurempi. Jos nimittäin muodostamme kulmaa ja kierrämme kokonaisen kierroksen ja liikutamme alkukylkeä edelleen, voimme muodostaa kulman, jonka suuruus on yli 360 astetta. Jos kierrämme puolitoista kierrosta, saamme kulman, jonka suuruus on 360 + 180 = 540 astetta. Tämä on suunnatun kulman kelvollinen suuruus. Tämä kulma on kuitenkin sama kuin 180 asteen kulma.

Jokaisen tällaisen suunnatun kulman suuruuden voi helposti muuntaa perusarvoksi, kun suuruus jaetaan kokonaislukujaossa luvulla 360 ja jakojäännös otetaan perusarvoksi. Kokeillaan muuntaa nuo 540 astetta perusarvoksi:

$$540:360=1(\text{jakojäännös }180)$$

Samoin muille suuruuksille. Esimerkiksi kulmille, joiden suuruus on 750, 1080 ja 2000 astetta, saamme:

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{jakojäännös }30)\\ 1080:360=3& & (\text{jakojäännös }0)\\ 2000:360=5& & (\text{jakojäännös }200)\end{array}$$

Kulmien perusarvot ovat 30, 0 ja 200 astetta. Jos laskemme radiaaneilla, jaamme lausekkeella 2π.