Unghi orientat
Laturile unui unghi împart planul în două unghiuri neorientate, unul mai mare și unul mai mic (dacă nu sunt egale). Ca să știm despre care unghi vorbim, introducem noțiunea de unghi orientat.
De ce introducem unghiul orientat
Privește figura următoare, în care este marcat unghiul AVB.
Întrebarea este acum la care dintre unghiuri ne referim. Probabil ai presupus intuitiv că mă gândesc la cel mai mic, dar la fel de bine aș fi putut vorbi despre cel mai mare. Figura următoare arată două unghiuri diferite formate din aceleași două semidrepte:
Fără alte informații nu putem preciza dacă prin notația „unghiul AVB” înțelegem unghiul alfa sau beta. Ca să ne înțelegem despre ce unghi vorbim, a apărut noțiunea de unghi orientat.
Sensul pozitiv și sensul negativ
Unghiul orientat ne ajută să precizăm la care unghi ne referim. Pentru asta trebuie să definim două lucruri. În primul rând, laturile unghiului trebuie scrise în ordinea corectă. Astfel înțelegem diferența dintre unghiul AVB și unghiul BVA, deși laturile lor sunt aceleași – semidreptele VA și VB. Dacă avem unghiul AVB, semidreapta VA se numește latura inițială a unghiului orientat, iar semidreapta VB latura finală. Punctul comun V se numește vârful unghiului orientat.
Bine, am aflat deci că ordinea laturilor contează. Tot nu știm însă în ce sens să pornim ca să obținem unghiul AVB. Unghiul AVB se poate forma în două sensuri, după cum arată figura următoare:
Latura de pornire a unghiului este semidreapta VA. De aici putem duce unghiul în două sensuri, reprezentate în figură prin săgeata verde și prin săgețile roșii. Sensurile le putem numi în mod obișnuit după acele ceasornicului: sensul verde este invers acelor de ceasornic, iar cel roșu este în sensul acelor de ceasornic.
În matematică folosim însă pentru aceste sensuri o altă denumire: sensul pozitiv și sensul negativ. Sensul pozitiv corespunde săgeții verzi, adică sensului invers mișcării acelor de ceasornic. Sensul negativ corespunde săgeții roșii, deci sensului de mișcare al acelor de ceasornic.
Figura următoare le arată pe scurt:
Ce este un unghi orientat
Un unghi orientat este o pereche ordonată de semidrepte cu aceeași origine. Unghiul orientat l-am putea scrie ca pe o pereche de semidrepte, de exemplu astfel:
dar o notație mai scurtă este aceasta:
Să definim acum măsura principală a unghiului orientat. Măsura principală a unghiului orientat
Măsura principală a unghiului aparține întotdeauna intervalului [0°, 360°). Observă că intervalul este deschis la dreapta. Unghiul principal nu poate fi egal cu 360 de grade. Un astfel de unghi coincide cu unghiul cu măsura de zero grade, așa că în loc de 360 de grade scriem zero grade. Dacă lucrăm în radiani, unghiul aparține intervalului [0, 2π).
În afară de măsura principală, avem și simpla măsură a unghiului orientat. Se definește la fel, doar că această măsură poate fi mai mare decât măsura principală. Dacă formăm unghiul și facem un tur complet, apoi continuăm să mișcăm latura inițială, putem obține un unghi cu măsura mai mare de 360 de grade. Dacă facem un tur și jumătate, obținem un unghi cu măsura 360 + 180 = 540 de grade. Aceasta este o măsură validă a unui unghi orientat. Cu toate acestea, acest unghi este identic cu unghiul de 180 de grade.
Orice astfel de măsură a unui unghi orientat o putem reduce ușor la măsura principală: împărțim măsura la 360 cu rest și luăm restul împărțirii drept măsură principală. Să reducem astfel cele 540 de grade la măsura principală:
La fel procedăm pentru celelalte măsuri. De exemplu, pentru unghiuri de 750, 1080 și 2000 de grade obținem:
Unghiurile au măsurile principale 30, 0 și 200 de grade. Dacă lucrăm în radiani, împărțim la expresia 2π.
Capitole: Unghiul, Bisectoarea unghiului, Construirea unui unghi congruent, Măsura în radiani a unghiului, Unghi orientat, Suma unghiurilor unui poligon, Transformarea pantei în unghi
