Προσανατολισμένη γωνία
Οι πλευρές μιας γωνίας χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μη προσανατολισμένες γωνίες, μία μεγαλύτερη και μία μικρότερη (αν δεν είναι ίσες). Για να ξέρουμε για ποια γωνία μιλάμε, εισάγουμε την έννοια της προσανατολισμένης γωνίας.
Γιατί εισάγουμε την προσανατολισμένη γωνία
Κοίτα το παρακάτω σχήμα, όπου σημειώνεται η γωνία AVB.
Το ερώτημα τώρα είναι ποια από τις γωνίες εννοούμε. Διαισθητικά πιθανότατα υπέθεσες ότι εννοώ τη μικρότερη γωνία, ωστόσο θα μπορούσα κάλλιστα να μιλάω για τη μεγαλύτερη. Δύο διαφορετικές γωνίες που σχηματίζονται από τις ίδιες δύο ημιευθείες δείχνει το επόμενο σχήμα:
Χωρίς κάποια επιπλέον πληροφορία δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε αν με την ονομασία γωνία AVB εννοούμε τη γωνία άλφα ή βήτα. Για να συνεννοηθούμε για ποια γωνία μιλάμε, προέκυψε έτσι η έννοια της προσανατολισμένης γωνίας.
Θετική και αρνητική φορά
Η προσανατολισμένη γωνία μας βοηθά έτσι να προσδιορίσουμε ποια γωνία εννοούμε. Γι’ αυτό πρέπει να ορίσουμε δύο πράγματα. Είναι απαραίτητο να αναφέρουμε με τη σωστή σειρά τις πλευρές της γωνίας. Κατανοούμε έτσι τη διαφορά ανάμεσα στη γωνία AVB και στη BVA, παρόλο που οι πλευρές των γωνιών είναι ίδιες – οι ημιευθείες VA και VB. Αν έχουμε τη γωνία AVB, η ημιευθεία VA ονομάζεται αρχική πλευρά της προσανατολισμένης γωνίας και η ημιευθεία VB τελική πλευρά της προσανατολισμένης γωνίας. Το κοινό σημείο V ονομάζεται κορυφή της προσανατολισμένης γωνίας.
Εντάξει, ήδη ξέρουμε ότι έχει σημασία η σειρά των πλευρών της γωνίας. Ακόμη όμως δεν ξέρουμε προς ποια κατεύθυνση να πάμε, αν θέλουμε να πάρουμε τη γωνία AVB. Η γωνία AVB θα μπορούσε να έχει προκύψει με δύο φορές, όπως δείχνει το επόμενο σχήμα:
Η αρχική πλευρά της γωνίας είναι η ημιευθεία VA. Από εκεί μπορούμε να σχηματίσουμε τη γωνία κατά δύο φορές, στο σχήμα παριστάνονται με το πράσινο βέλος και με τα κόκκινα βέλη. Τις φορές μπορούμε να τις ονομάσουμε κλασικά με βάση τους δείκτες του ρολογιού: η πράσινη φορά είναι αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού και η κόκκινη κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού.
Στα μαθηματικά όμως για αυτές τις φορές χρησιμοποιούμε άλλη ονομασία, πρόκειται για θετική και αρνητική φορά. Η θετική φορά αντιστοιχεί στο πράσινο βέλος, δηλαδή στη φορά αντίθετα από την κίνηση των δεικτών του ρολογιού. Η αρνητική φορά αντιστοιχεί στο κόκκινο βέλος, πρόκειται έτσι για τη φορά κατά την κίνηση των δεικτών του ρολογιού.
Συνοπτικά το δείχνει το επόμενο σχήμα:
Τι είναι η προσανατολισμένη γωνία
Η προσανατολισμένη γωνία ως τέτοια είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος ημιευθειών με κοινή αρχή. Την προσανατολισμένη γωνία θα μπορούσαμε έτσι να τη γράφουμε ως ζεύγος ημιευθειών, για παράδειγμα ως εξής:
ο συντομότερος συμβολισμός όμως είναι αυτός:
Τώρα θα ορίσουμε το κύριο μέτρο της προσανατολισμένης γωνίας. Το κύριο μέτρο της προσανατολισμένης
Το μέτρο της κύριας γωνίας ανήκει πάντα στο διάστημα [0°, 360°). Πρόσεξε ότι το διάστημα είναι ανοικτό δεξιά. Η κύρια γωνία δεν μπορεί να ισούται με 360 μοίρες. Αυτή η γωνία ταυτίζεται με τη γωνία μέτρου μηδέν μοιρών, γι’ αυτό αντί για 360 μοίρες γράφουμε μηδέν μοίρες. Αν κινούμαστε σε ακτίνια, τότε η γωνία ανήκει στο διάστημα [0, 2π).
Εκτός από το κύριο μέτρο έχουμε και απλά το μέτρο της προσανατολισμένης γωνίας. Ορίζεται με τον ίδιο τρόπο, μόνο που αυτό το μέτρο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το κύριο μέτρο. Αν δηλαδή, καθώς σχηματίζουμε μια γωνία, κάνουμε έναν ολόκληρο γύρο και συνεχίσουμε να κινούμε την αρχική πλευρά, μπορούμε έτσι να δημιουργήσουμε γωνία μέτρου μεγαλύτερου από 360 μοίρες. Αν κάνουμε ενάμισι γύρο, παίρνουμε γωνία μέτρου 360 + 180 = 540 μοίρες. Αυτό είναι έγκυρο μέτρο προσανατολισμένης γωνίας. Ωστόσο αυτή η γωνία είναι ταυτόσημη με τη γωνία των 180 μοιρών.
Κάθε τέτοιο μέτρο προσανατολισμένης γωνίας μπορούμε εύκολα να το μετατρέψουμε στο κύριο μέτρο, αν κάνουμε την ευκλείδεια διαίρεση του μέτρου με το 360 και πάρουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης ως κύριο μέτρο. Ας δοκιμάσουμε λοιπόν να μετατρέψουμε αυτές τις 540 μοίρες στο κύριο μέτρο:
Ομοίως και για τα υπόλοιπα μέτρα. Για παράδειγμα για γωνίες μέτρου 750, 1080 και 2000 μοιρών παίρνουμε:
Οι γωνίες έχουν κύριο μέτρο 30, 0 και 200 μοίρες. Αν υπολογίζουμε σε ακτίνια, διαιρούμε με το 2π.
Κεφάλαια: Γωνία, Πώς κατασκευάζουμε τη διχοτόμο γωνίας, Μεταφορά γωνίας, Μέτρηση γωνιών σε ακτίνια, Προσανατολισμένη γωνία, Άθροισμα γωνιών πολυγώνου, Μετατροπή κλίσης σε γωνία
