Georiënteerde hoek
De benen van een hoek verdelen het vlak in twee niet-georiënteerde hoeken, een grotere en een kleinere (als ze niet even groot zijn). Om te weten over welke hoek we het hebben, voeren we het begrip georiënteerde hoek in.
Waarom voeren we een georiënteerde hoek in
Kijk naar de volgende afbeelding, waarin hoek AVB is aangegeven.
De vraag is nu welke van de hoeken we bedoelen. Je nam waarschijnlijk intuïtief aan dat ik de kleinere hoek bedoel, maar ik had het net zo goed over de grotere hoek kunnen hebben. Twee verschillende hoeken die uit dezelfde twee halve lijnen ontstaan, zie je in de volgende afbeelding:
Zonder extra informatie kunnen we niet vastleggen of we met de aanduiding hoek AVB hoek alfa of hoek bèta bedoelen. Om af te spreken over welke hoek we het eigenlijk hebben, is het begrip georiënteerde hoek ontstaan.
Positieve en negatieve richting
Een georiënteerde hoek helpt ons dus vast te leggen welke hoek we bedoelen. Daarvoor moeten we twee dingen definiëren. Allereerst moeten we de benen van de hoek in de juiste volgorde noemen. Zo begrijpen we het verschil tussen hoek AVB en BVA, ook al zijn de benen van de hoeken hetzelfde — de halve lijnen VA en VB. Als we hoek AVB hebben, heet de halve lijn VA het beginbeen van de georiënteerde hoek en de halve lijn VB het eindbeen van de georiënteerde hoek. Het gemeenschappelijke punt V heet het hoekpunt van de georiënteerde hoek.
Goed, we weten nu dat de volgorde van de benen van de hoek ertoe doet. Maar we weten nog steeds niet in welke richting we moeten gaan als we hoek AVB willen krijgen. Hoek AVB kan namelijk in twee richtingen zijn ontstaan, zoals de volgende afbeelding laat zien:
Het beginbeen van de hoek is de halve lijn VA. Vanaf daar kunnen we de hoek in twee richtingen trekken, in de afbeelding weergegeven met een groene pijl en rode pijlen. We kunnen de richtingen op de klassieke manier benoemen naar de wijzers van de klok: de groene richting is tegen de wijzers van de klok in en de rode met de wijzers van de klok mee.
In de wiskunde gebruiken we voor deze richtingen echter een andere benaming: de positieve en de negatieve richting. De positieve richting komt overeen met de groene pijl, dus de richting tegen de wijzers van de klok in. De negatieve richting komt overeen met de rode pijl, dus de richting met de wijzers van de klok mee.
Overzichtelijk zie je dat in de volgende afbeelding:
Wat is een georiënteerde hoek
Een georiënteerde hoek is op zich een geordend paar halve lijnen met een gemeenschappelijk beginpunt. We zouden een georiënteerde hoek dus kunnen opschrijven als een paar halve lijnen, bijvoorbeeld zo:
maar de kortere notatie is deze:
Nu definiëren we de hoofdwaarde van een georiënteerde hoek. De hoofdwaarde van de georiënteerde hoek
De grootte van de hoofdwaarde ligt altijd in het interval [0°, 360°⟩. Let op dat het interval rechts open is. De hoofdwaarde kan niet gelijk zijn aan 360 graden. Die hoek valt namelijk samen met de hoek van nul graden, daarom schrijven we in plaats van 360 graden nul graden. Als we met radialen werken, ligt de hoek in het interval [0, 2π⟩.
Behalve de hoofdwaarde hebben we ook gewoon de grootte van een georiënteerde hoek. Die is op dezelfde manier gedefinieerd, alleen kan deze grootte groter zijn dan de hoofdwaarde. Als we namelijk een hoek maken en een hele ronde draaien en het beginbeen verder bewegen, kunnen we een hoek maken die groter is dan 360 graden. Als we anderhalve ronde draaien, krijgen we een hoek van 360 + 180 = 540 graden. Dit is een geldige grootte van een georiënteerde hoek. Deze hoek is echter gelijk aan de hoek van 180 graden.
Elke zo'n grootte van een georiënteerde hoek kunnen we gemakkelijk omzetten naar de hoofdwaarde door de grootte met rest door 360 te delen en de rest als hoofdwaarde te nemen. Laten we die 540 graden omzetten naar de hoofdwaarde:
Voor andere groottes gaat het op dezelfde manier. Voor hoeken van 750, 1080 en 2000 graden krijgen we bijvoorbeeld:
De hoeken hebben dus hoofdwaarden van 30, 0 en 200 graden. Als we in radialen rekenen, delen we door 2π.
Hoofdstukken: Hoek, Hoe construeer je de bissectrice van een hoek, Een hoek overbrengen, Radialen, Georiënteerde hoek, Som van de hoeken van een veelhoek, Stijging omrekenen naar een hoek
