Orienteret vinkel
Vinklens ben deler planen i to ikke-orienterede vinkler, en større og en mindre (hvis de ikke er lige store). For at vide, hvilken vinkel vi taler om, indfører vi begrebet orienteret vinkel.
Hvorfor indføre en orienteret vinkel
Se på den følgende figur, hvor vinklen AVB er markeret.
Spørgsmålet er nu, hvilken af vinklerne vi mener. Intuitivt har du nok antaget, at jeg mener den mindre vinkel, men jeg kunne lige så godt tale om den større vinkel. To forskellige vinkler dannet af de samme to halvlinjer viser den følgende figur:
Uden yderligere oplysninger kan vi ikke afgøre, om vi med betegnelsen vinkel AVB mener vinklen alfa eller beta. For at blive enige om, hvilken vinkel vi egentlig taler om, opstod begrebet orienteret vinkel.
Positiv og negativ retning
En orienteret vinkel hjælper os altså med at angive, hvilken vinkel vi mener. Dertil skal vi definere to ting. Det er nødvendigt at angive vinklens ben i den rigtige rækkefølge. Vi forstår dermed forskellen mellem vinklen AVB og BVA, selv om vinklernes ben er de samme — halvlinjerne VA og VB. Hvis vi har vinklen AVB, kaldes halvlinjen VA den orienterede vinkels begyndelsesben og halvlinjen VB den orienterede vinkels endeben. Det fælles punkt V kaldes den orienterede vinkels spids.
Godt, nu ved vi, at rækkefølgen af vinklens ben har betydning. Men vi ved stadig ikke, hvilken retning vi skal gå, hvis vi vil have vinklen AVB. Vinklen AVB kan nemlig være opstået i to retninger, som den følgende figur viser:
Vinklens begyndelsesben er halvlinjen VA. Derfra kan vi føre vinklen i to retninger, på figuren vist med den grønne pil og de røde pile. Retningerne kan vi navngive klassisk efter urets visere: den grønne retning er mod uret, og den røde er med uret.
I matematik bruger vi dog en anden betegnelse for disse retninger, nemlig positiv og negativ retning. Positiv retning svarer til den grønne pil, altså mod urets retning. Negativ retning svarer til den røde pil, altså med urets retning.
Det vises overskueligt på den følgende figur:
Hvad er en orienteret vinkel
En orienteret vinkel er som sådan et ordnet par af halvlinjer med fælles begyndelsespunkt. En orienteret vinkel kunne vi altså skrive som et par af halvlinjer, for eksempel sådan her:
en kortere skrivemåde er imidlertid denne:
Nu definerer vi grundvinklen for en orienteret vinkel. Grundvinklen for den orienterede vinkel
Grundvinklens størrelse ligger altid i intervallet [0°; 360°[. Læg mærke til, at intervallet er åbent til højre. Grundvinklen kan ikke være lig med 360 grader. Den vinkel falder nemlig sammen med vinklen på nul grader, og derfor skriver vi nul grader i stedet for 360 grader. Hvis vi arbejder i buemål, ligger vinklen i intervallet [0; 2π[.
Ud over grundvinklen har vi også den orienterede vinkels størrelse som sådan. Den defineres på samme måde, bortset fra at denne størrelse kan være større end grundvinklens størrelse. For hvis vi danner en vinkel og drejer en hel omgang og bevæger begyndelsesbenet videre, kan vi danne en vinkel på mere end 360 grader. Hvis vi drejer halvanden omgang, får vi en vinkel på 360 + 180 = 540 grader. Det er en gyldig størrelse af en orienteret vinkel. Men denne vinkel er identisk med vinklen på 180 grader.
Enhver sådan størrelse af en orienteret vinkel kan vi let omregne til grundvinklens størrelse, hvis vi foretager heltalsdivision af størrelsen med 360 og tager resten som grundvinklens størrelse. Lad os prøve at omregne de 540 grader til grundvinklens størrelse:
Tilsvarende for andre størrelser. For eksempel får vi for vinkler på 750, 1080 og 2000 grader:
Vinklerne har grundvinkler på 30, 0 og 200 grader. Hvis vi regner i radianer, dividerer vi med udtrykket 2π.
Kapitler: Vinkel, Sådan konstruerer du en vinkelhalveringslinje, Afsætning af en vinkel, Buemål for vinkler, Orienteret vinkel, Vinkelsummen i en mangekant, Omregning af stigning til vinkel
