多角形の内角の和
どんな三角形でも、内角をたすといつも 180° になります。鋭角三角形でも、鈍角三角形でも、切手のように小さな三角形でもかまいません。では、四角形、五角形、六角形ではどうでしょうか。内角を合わせるといくつになるでしょうか。
三角形に分ける
五角形 ABCDE を考え、頂点 A から、辺で結ばれていないすべての頂点へ対角線を引きます。対角線 AC と AD です。これらの対角線で、五角形は3つの三角形に分かれます。
色をつけた角を見てみましょう。三角形のどの角も五角形のどれかの頂点にあり、合わせると五角形の内角をちょうどうめつくします。余るところも足りないところもありません。頂点 A には3つの三角形すべての角が集まり、C と D には2つずつ集まります。したがって、五角形の内角の和は、3つの三角形の内角の和と同じで、3 · 180° です。
どんな凸多角形でも、まったく同じになります。1つの頂点から、となりの2つの頂点を除くすべての頂点へ対角線を引くと、n 角形は n − 2 個の三角形に分かれます。したがって、n 角形の内角の和は次のようになります。
この公式は、凸でない多角形、つまり 180° より大きい内角をもつ多角形でも成り立ちます。凸でない多角形も三角形に分けられますが、対角線をすべて1つの頂点から引けるとはかぎりません。
四角形は頂点が4つあるので、n = 4 を代入します。
正方形でも確かめられます。4つの直角を合わせると、ちょうど 4 · 90° = 360° です。
五角形では n = 5 です。
そして六角形、つまり n = 6 です。
頂点が1つ増えるごとに、三角形が1つ増え、内角の和は 180° ずつ大きくなります。
なぜ n 個の三角形ではないのか
多角形は、ほかの切り方もできます。内部に点 S をとり、すべての頂点と結びます。すると、五角形は5つの三角形に分かれます。内角の和は 5 · 180° だと結論したくなりますが、これはまちがいです。
点 S のところにある三角形の角は、五角形の内角ではありません。これらを合わせると周角 360° になるので、それをひく必要があります。
前と同じ結果になりました。360° = 2 · 180° なので、どんな凸 n 角形でも同じ結果になります。
正多角形
正多角形では、辺の長さがすべて等しく、角の大きさもすべて等しくなっています。1つの角の大きさは、内角の和を角の個数 n で割れば求められます。
正五角形の内角は
正六角形は、ミツバチがつくる形です。ハチの巣は正六角形をすきまなく並べてできています。どの頂点にも3つの正六角形が集まり、その角を合わせると
つまり、ちょうど周角になるからです。
正五角形では、こうはいきません。108° の角を3つ合わせると 324° ですきまが残り、4つ合わせると 432° で大きすぎます。正多角形の面積の求め方は、記事「正n角形の面積」で説明しています。
外角の和は 360°
外角は、多角形の辺を頂点の先までのばしたときにできる角で、のばした線ととなりの辺の間の角です。五角形のまわりを歩いて1周するところを想像してみましょう。どの頂点でも、ちょうど外角の大きさだけ向きを変えます。出発点にもどると、最初と同じ向きを向いているので、ちょうど1回転、つまり 360° 回ったことになります。
右の時計の文字盤は、矢印がそれまでに全部でどれだけ回ったかを示しています。
計算でも同じ結果になります。1つの頂点の内角と外角はとなり合う角なので、合わせて 180° です。頂点が n 個なら、全部で n · 180° になります。そのうち (n − 2) · 180° が内角の分で、外角には次の分が残ります。
頂点の数は関係ありません。凸多角形の外角の和は、三角形でも百角形でも、いつも 360° です。
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