Orienterad vinkel

Vinkelbenen delar planet i två icke-orienterade vinklar, en större och en mindre (om de inte är lika stora). För att veta vilken vinkel vi talar om inför vi begreppet orienterad vinkel.

Varför inför vi orienterade vinklar

Titta på följande figur, där vinkeln AVB är markerad.

Frågan är nu vilken av vinklarna vi menar. Intuitivt antog du nog att jag menar den mindre vinkeln, men jag skulle lika gärna kunna tala om den större. Två olika vinklar som bildas av samma två strålar visas i följande figur:

Utan ytterligare information kan vi inte avgöra om vi med beteckningen vinkel AVB menar vinkeln alfa eller beta. För att vi ska bli överens om vilken vinkel vi egentligen talar om uppstod begreppet orienterad vinkel.

Positiv och negativ riktning

Den orienterade vinkeln hjälper oss alltså att ange vilken vinkel vi menar. För det måste vi definiera två saker. Vi måste ange vinkelns ben i rätt ordning. Därför skiljer vi på vinkeln AVB och BVA, fast vinklarnas ben är desamma — strålarna VA och VB. Om vi har vinkeln AVB kallas strålen VA den orienterade vinkelns begynnelseben och strålen VB den orienterade vinkelns slutben. Den gemensamma punkten V kallas den orienterade vinkelns spets.

Bra, nu vet vi att ordningen på vinkelns ben spelar roll. Men vi vet fortfarande inte i vilken riktning vi ska gå för att få vinkeln AVB. Vinkeln AVB kunde nämligen ha uppstått i två riktningar, som följande figur visar:

Begynnelsebenet är strålen VA. Därifrån kan vinkeln gå i två riktningar, som i figuren visas med den gröna pilen och de röda pilarna. Riktningarna kan vi benämna på det klassiska sättet efter klockans visare: den gröna riktningen är moturs och den röda medurs.

I matematiken använder vi dock en annan beteckning för de här riktningarna, nämligen positiv och negativ riktning. Den positiva riktningen motsvarar den gröna pilen, alltså riktningen moturs. Den negativa riktningen motsvarar den röda pilen och är alltså riktningen medurs.

Följande figur ger en tydlig översikt:

Vad är en orienterad vinkel

En orienterad vinkel är som sådan ett ordnat par av strålar med gemensam startpunkt. Vi skulle alltså kunna skriva en orienterad vinkel som ett par av strålar, till exempel så här:

$$(\overrightarrow{VA},\overrightarrow{VB}),$$

men en kortare skrivform är denna: $\widehat{AVB}$. Vidare gäller att om strålarna VA och VB är olika, så är också vinklarna $\widehat{AVB}$ och $\widehat{BVA}$ olika.

Nu definierar vi grundvinkeln hos en orienterad vinkel. Grundvinkeln hos den orienterade vinkeln $\widehat{AVB}$ är lika med storleken hos den icke-orienterade vinkel som uppstår när begynnelsebenet VA vrids till läget för slutbenet VB i positiv riktning, alltså moturs.

Grundvinkelns storlek ligger alltid i intervallet [0°, 360°[. Observera att intervallet är öppet till höger. Grundvinkeln kan inte vara lika med 360 grader. Den vinkeln sammanfaller nämligen med vinkeln på noll grader, och därför skriver vi noll grader i stället för 360 grader. Om vi arbetar i bågmått ligger vinkeln i intervallet [0, 2π[.

Förutom grundvinkeln finns också den orienterade vinkelns storlek. Den definieras på samma sätt, men den här storleken kan vara större än grundvinkeln. Om vi nämligen skapar en vinkel och vrider ett helt varv och sedan fortsätter att röra begynnelsebenet kan vi skapa en vinkel som är större än 360 grader. Om vi vrider ett och ett halvt varv får vi en vinkel på 360 + 180 = 540 grader. Det är en giltig storlek för en orienterad vinkel. Den vinkeln är dock identisk med vinkeln på 180 grader.

Varje sådan storlek hos en orienterad vinkel kan vi lätt omvandla till grundvinkel genom att heltalsdividera storleken med 360 och ta resten som grundvinkel. Vi provar att omvandla de där 540 graderna till grundvinkel:

$$540:360=1(\text{rest }180)$$

På samma sätt för andra storlekar. Till exempel får vi för vinklar på 750, 1080 och 2000 grader:

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{rest }30)\\ 1080:360=3& & (\text{rest }0)\\ 2000:360=5& & (\text{rest }200)\end{array}$$

Vinklarna har grundvinklarna 30, 0 och 200 grader. Om vi räknar i radianer dividerar vi med uttrycket 2π.