Gränsvärde av en funktion

Gränsvärdet av en funktion är ett av de viktigaste begreppen inom matematisk analys. Det beskriver hur en funktion beter sig nära en viss punkt, och med hjälp av det kan vi till exempel definiera kontinuitet. Gränsvärdet hjälper oss att förstå hur funktionen beter sig även på ställen där den inte alls är definierad.

Omgivning av en punkt

Vi börjar med definitionen av epsilonomgivningen av en punkt bland de reella talen. Låt r ∈ ℝ. Epsilonomgivningen av punkten för ϵ > 0 är då det öppna intervallet ]r − ϵ, r + ϵ[. Den punkterade epsilonomgivningen är likadan, men innehåller inte punkten r. Den punkterade omgivningen är ]r − ϵ, r[ ∪ ]r, r + ϵ[. Epsilonomgivningen av punkten a skriver vi U(a, ϵ) och den punkterade omgivningen R(a, ϵ).

Som exempel tar vi talet fem och dess 2-omgivning. Vi beräknar alltså U(5, 2), som är intervallet ]5 − 2, 5 + 2[ = ]3, 7[. Den punkterade omgivningen blir R(5, 2) = ]3, 5[ ∪ ]5, 7[. Det är samma omgivning, bara utan punkten fem. Så här ser 2-omgivningen av punkten 5 ut i en graf:

Den punkterade 2-omgivningen skulle se likadan ut, bara utan den blå punkten 5.

Hopningspunkt

Vidare behöver vi definitionen av en hopningspunkt till en mängd. Ett element a ∈ ℝ är en hopningspunkt till mängden M ⊆ ℝ om det i varje punkterad omgivning av a, hur liten den än är, ligger någon punkt i M. Mer exakt:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Exempel: varje reellt tal är en hopningspunkt till mängden av de reella talen. Om vi väljer talet 10 hittar vi alltid ett reellt tal i varje punkterad omgivning av punkten. För $ϵ=\frac{1}{100}$ får vi den punkterade omgivningen ]9,99; 10[ ∪ ]10; 10,01[. I båda intervallen finns det reella tal – närmare bestämt finns det oändligt många reella tal i dem. Hur litet ϵ vi än väljer får vi alltså intervall som innehåller oändligt många reella tal.

Om vi i stället väljer mängden av de naturliga talen som M hittar vi ingen hopningspunkt. Talet $\frac{1}{2}$ är till exempel ingen hopningspunkt, eftersom vi för $ϵ=\frac{1}{10}$ får intervallen ]0,4; 0,5[ ∪ ]0,5; 0,6[, och inget av dem innehåller något naturligt tal.

Motivering till gränsvärden

Vi börjar med den enklaste definitionen – ändligt gränsvärde i en ändlig punkt. Först ska vi se vad det egentligen är vi vill beräkna. Titta på följande graf av signumfunktionen:

Om vi tar punkten x₁ = 3 är funktionsvärdet i den punkten 1. Det gäller alltså att sgn(3) = 1. Dessutom har funktionen funktionsvärdet 1 i alla punkter ”i närheten”, till exempel sgn(2,5) = 1 eller sgn(3,5) = 1. Om vi närmar oss punkten x₁ = 3 från vänster eller från höger är funktionsvärdena alltid lika med ett.

Men om vi tar punkten x₂ = 0 gäller att sgn(0) = 0, medan alla punkter runt omkring har ett annat funktionsvärde! Till exempel är $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ och $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Funktionsvärdena från höger närmar sig värdet 1, medan funktionsvärdena från vänster närmar sig värdet −1. Och i själva punkten x₂ = 0 får vi funktionsvärdet 0. Lurigt! De värden som funktionen närmar sig i en punkt kallas gränsvärden av funktionen i punkten.

Definition av ändligt gränsvärde i en ändlig punkt

Låt f vara en funktion och x₀ ∈ ℝ en hopningspunkt till definitionsmängden för funktionen f. Då säger vi att L ∈ ℝ är gränsvärdet av funktionen f i punkten x₀ om

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Och nu till vad definitionen betyder. Att punkten är ändlig innebär här att den är ett reellt tal. Senare ska vi prata om gränsvärden i oändliga punkter, alltså i oändligheten. Vi försöker beräkna det här gränsvärdet:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

För så enkla funktioner gäller att gränsvärdet av funktionen i punkten x₀ är lika med funktionsvärdet i den punkten: f(x₀). Senare ska vi definiera exakt vad en ”enkel funktion” är. Nu ritar vi in allt i en figur:

Den svarta linjen är grafen av funktionen $f(x)=\frac{x}{3}$, den röda punkten x₀ är punkten där vi söker gränsvärdet och den gröna punkten L är det gränsvärde vi får. Lägg märke till att vi markerar gränsvärdet på y-axeln.

Vi fortsätter enligt definitionen. Först i definitionen står (∀ϵ > 0) och senare förekommer ϵ i |f(x) − L|<ϵ – det är matematiskt skrivsätt för att alla f(x) ska ligga närmare L än ϵ. Vi söker alltså ϵ-omgivningen av punkten L på y-axeln. Enligt definitionen får vi välja vilket ϵ > 0 som helst, och vi väljer till exempel $ϵ=\frac{3}{10}$. Vi hittar punkterna på y-axeln som ligger exakt på avståndet ϵ från punkten L:

Alla punkter på y-axeln som ligger mellan de här gröna linjerna ligger i ϵ-omgivningen av punkten L. Det är de punkter som definitionen talar om.

Definitionen fortsätter med uttrycket (∃δ>0), som sedan används i uttrycket 0<|x − x₀|<δ. Vi säger att skillnaden x − x₀ ska vara mindre än δ. Eftersom x, x₀ ligger på x-axeln markerar vi också värdet δ på x-axeln. Uttrycket 0<|x − x₀|<δ säger oss dessutom att vi ska ta alla x som ligger närmare x₀ än δ, men samtidigt längre bort än noll, dvs. x ≠ x₀. Det betyder att den här skrivningen anger den punkterade δ-omgivningen av punkten x₀. Definitionen av gränsvärde kan vi därför likvärdigt skriva om med hjälp av omgivningar av punkter:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Vi återvänder till den tidigare definitionen och fortsätter rita figuren. För att visa det behöver vi nästa del av definitionen:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

För alla x i den punkterade δ-omgivningen av punkten x₀ måste alltså ett visst villkor gälla. Vi ritar in den punkterade δ-omgivningen av punkten x₀, till exempel för $\delta =\frac{3}{2}$:

Alla x som ligger mellan de röda streckade linjerna tillhör δ-omgivningen av x₀, förutom själva punkten x₀. Vi tittar på villkoret igen:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

För alla x i den punkterade δ-omgivningen av punkten x₀ måste alla funktionsvärden f(x) ligga i ϵ-omgivningen av punkten L. Vi tar alltså alla x i den punkterade δ-omgivningen av punkten x₀ och beräknar funktionsvärdena. De här funktionsvärdena visas i följande figur som ett blått linjestycke:

Punkten x₀ ligger inte i den punkterade omgivningen, och därför är det en liten ring på det stället. Definitionen säger att alla de här blå punkterna måste ligga i ϵ-omgivningen av punkten L. Med figurens färger: alla blå punkter måste ligga mellan de gröna linjerna, som visar ϵ-omgivningen. Gör de det?

Nej, det gör de förstås inte. För till exempel $x=\frac{16}{10}$ får vi tydligt en blå punkt som inte ligger mellan de gröna linjerna, dvs. som inte ligger i ϵ-omgivningen av punkten L.

Det gör ingenting. Definitionen säger att det för varje ϵ-omgivning av punkten L ska finnas någon δ-omgivning sådan att … resten av villkoret. Det betyder att det räcker att det finns en enda sådan δ-omgivning. $\delta =\frac{3}{2}$ var uppenbarligen inget bra val, men vi kan pröva ett annat δ, till exempel $\delta =\frac{1}{2}$. Figuren ändras då så här:

Vi tittar återigen på om alla funktionsvärden för alla x i den punkterade δ-omgivningen av punkten x₀ ligger i ϵ-omgivningen av punkten L. Kort sagt, om alla blå punkter ligger mellan de gröna linjerna. Ja, nu gör de det, hurra.

Betyder det att L är gränsvärdet av funktionen i punkten x₀? Inte nödvändigtvis, för definitionen säger att (∀ϵ > 0) …. Vi har hittills kontrollerat definitionen för ett enda bestämt ϵ, och det återstår … oändligt många.

Med andra ord – för att det verkligen ska gälla att $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$ måste vi för varje ϵ-omgivning hitta någon δ-omgivning sådan att det tidigare villkoret gäller. Av figuren ser vi att vi alltid hittar en sådan δ-omgivning. Om vi till exempel minskar ϵ till $ϵ=\frac{1}{10}$ kan vi minska δ till $\delta =\frac{2}{10}$ och det fungerar:

Hur litet ϵ vi än tar måste vi alltid kunna hitta ett δ sådant att vi får in funktionsvärdena i ϵ-omgivningen av gränsvärdet L.

Bevis av ändligt gränsvärde i en ändlig punkt

Vi ska nu försöka bevisa det tidigare gränsvärdet på riktigt. Av figuren vet vi redan att troligen gäller

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

och nu försöker vi bevisa det matematiskt. Av figuren kan vi dra slutsatsen att det kanske fungerar om vi alltid tar samma värde på δ som på ϵ. Vi sätter alltså δ = ϵ. Nu måste vi bevisa att

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{för alla}x\in ]x_0-\delta ,x_0[\cup ]x_0,x_0+\delta [$$

Eftersom vi satte δ = ϵ byter vi alla δ mot ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{för alla}x\in ]x_0-ϵ,x_0[\cup ]x_0,x_0+ϵ[$$

Vi sätter in 1 för L och 3 för x₀:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{för alla}x\in ]3-ϵ,3[\cup ]3,3+ϵ[$$

Nu ska vi bevisa alla olikheter. Eftersom funktionen $\frac{x}{3}$ är strängt växande räcker det att kontrollera ändpunkterna 3 − ϵ och 3 + ϵ. Vi börjar med 3 − ϵ – vi sätter in värdet 3 − ϵ i funktionen $\frac{x}{3}$ och visar att det värdet alltid uppfyller olikheterna 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Samma sak med 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Felaktigt bestämt gränsvärde

Nu skissar vi också vad som skulle hända om vi trodde att gränsvärdet av funktionen när x närmar sig tre vore en halv. Vi väljer någon liten epsilonomgivning:

Nu kan vi inte längre hitta någon deltaomgivning av punkten x₀ vars alla funktionsvärden ryms mellan de gröna linjerna. Vi ser att för den valda δ-omgivningen ligger alla blå punkter utanför de gröna linjerna. Om vi gjorde δ-omgivningen större skulle vi bara öka antalet blå punkter som vi inte får in mellan de gröna linjerna.

Gränsvärdet av signum

Signum är en underbar funktion som nog gör dig förvirrad. Här är grafen:

Grafen är inte helt tydlig, så här är en beskrivning i ord: om x är negativt är signum minus ett, om x är positivt är signum plus ett och om x är noll är också signum noll. Vi ändrar grafen med hjälp av absolutbelopp till f(x) = |sgn(x)| och får då |sgn(0)| = 0, medan |sgn(x)| = 1 i alla övriga fall. Grafen:

Frågan är vad det här gränsvärdet är lika med:

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Funktionen är definierad i punkten noll och funktionsvärdet är också noll. Det säger oss ändå inte att gränsvärdet också är lika med noll. Gränsvärdet kan skilja sig från funktionsvärdet i punkten.

Det enda sättet att välja gränsvärdet så att definitionen stämmer är att välja gränsvärdet ett. Vi kan också hjälpa oss med intuition: vad närmar sig funktionsvärdet när x närmar sig noll från vänster? Hela tiden närmar det sig ett. Att det till slut hoppar till noll gör ingenting. På samma sätt när x närmar sig noll från höger.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Om vi lät funktionen vara i sin ursprungliga form, dvs. f(x) = sgn(x), skulle funktionen inte ha något gränsvärde i punkten noll, utan två olika ensidiga gränsvärden. Från vänster närmar sig funktionen minus ett och från höger plus ett. Du kan försöka bevisa det med hjälp av definitionen.

Gränsvärden som inte existerar

Vi visar några fler exempel på gränsvärden som inte existerar.

Det enklaste exemplet på att ett gränsvärde inte existerar är att beräkna gränsvärdet i en punkt som inte är en hopningspunkt till D_f. Till exempel existerar inte gränsvärdet

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Grafen:

Periodiska funktioner saknar ofta gränsvärde i oändligheten (det gäller inte alla!). Typiska exempel är trigonometriska funktioner som sinus. Här är grafen:

Gränsvärdet i oändligheten existerar helt enkelt inte. Värdet av sinus svänger hela tiden mellan ett och minus ett, så gränsvärdet går inte att beräkna.