Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Se kuvaa jonkin funktion käyttäytymistä tietyn pisteen ympäristössä, minkä avulla voidaan esimerkiksi määritellä funktion jatkuvuus. Funktion raja-arvo auttaa ymmärtämään funktion käyttäytymistä myös sellaisissa kohdissa, joissa sitä ei ole lainkaan määritelty.

Pisteen ympäristö

Aloitetaan pisteen epsilon-ympäristön määritelmällä reaalilukujen joukossa. Olkoon r ∈ ℝ. Silloin sanotaan, että tämän pisteen epsilon-ympäristö, kun ϵ > 0, on avoin väli ]r − ϵ, r + ϵ[. Puhkaistu epsilon-ympäristö on samanlainen, mutta se ei sisällä pistettä r. Puhkaistu ympäristö on ]r − ϵ, r[ ∪ ]r, r + ϵ[. Pisteen a epsilon-ympäristöä merkitään U(a, ϵ) ja puhkaistua ympäristöä R(a, ϵ).

Otetaan esimerkiksi luku viisi ja sen 2-ympäristö. Lasketaan siis U(5, 2), joka on väli ]5 − 2, 5 + 2[ = ]3, 7[. Puhkaistu ympäristö olisi R(5, 2) = ]3, 5[ ∪ ]5, 7[. Sama ympäristö, vain ilman pistettä viisi. Pisteen 5 2-ympäristö graafisesti esitettynä:

Puhkaistu 2-ympäristö näyttäisi samalta, mutta siihen ei olisi sisällytetty sinistä pistettä 5.

Kasautumispiste

Seuraavaksi tarvitaan joukon kasautumispisteen määritelmä. Alkio a ∈ ℝ on joukon M ⊆ ℝ kasautumispiste, jos pätee, että jokaisessa sen puhkaistussa ympäristössä, kuinka pienessä tahansa, on jokin joukon M piste. Tarkemmin:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Esimerkkejä: jokainen reaaliluku on reaalilukujen joukon kasautumispiste. Kun valitaan luku 10, tämän pisteen mielivaltaisessa puhkaistussa ympäristössä on aina reaaliluku. Kun $ϵ=\frac{1}{100}$, saadaan puhkaistu ympäristö ]9,99; 10[ ∪ ]10; 10,01[. Kummassakin välissä on jokin reaaliluku – tarkemmin sanottuna niissä on äärettömän monta reaalilukua. Kuinka pienen ϵ:n tahansa valitaankin, saadaan aina välit, jotka sisältävät äärettömän monta reaalilukua.

Jos joukoksi M valittaisiin positiivisten kokonaislukujen joukko, kasautumispistettä ei löytyisi lainkaan. Esimerkiksi luku $\frac{1}{2}$ ei ole kasautumispiste, koska kun $ϵ=\frac{1}{10}$, saadaan välit ]0,4; 0,5[ ∪ ]0,5; 0,6[, eikä yksikään väleistä sisällä yhtään positiivista kokonaislukua.

Raja-arvon motivointi

Aloitetaan helpoimmalla määritelmällä – äärellinen raja-arvo äärellisessä pisteessä. Näytetään ensin, mitä oikeastaan halutaan laskea. Katso seuraavaa signum-funktion kuvaajaa:

Kun otetaan piste x₁ = 3, pätee, että funktion arvo tässä pisteessä on 1. Pätee sgn(3) = 1. Samalla pätee myös, että kaikissa ”lähellä” olevissa pisteissä funktion arvo on 1, esimerkiksi sgn(2,5) = 1 tai sgn(3,5) = 1. Kun pistettä x₁ = 3 lähestytään vasemmalta tai oikealta, funktion arvot ovat aina yksi.

Mutta kun otetaan piste x₂ = 0, pätee sgn(0) = 0, vaikka kaikilla lähipisteillä on eri funktion arvo! Esimerkiksi $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ tai $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Oikealta funktion arvot lähestyvät arvoa 1, kun taas vasemmalta funktion arvot lähestyvät arvoa −1. Ja lopulta pisteessä x₂ = 0 funktion arvo on 0. Ansa. Näitä arvoja, joita funktio kyseisessä pisteessä lähestyy, kutsutaan funktion raja-arvoiksi pisteessä.

Äärellisen raja-arvon määritelmä äärellisessä pisteessä

Olkoon f funktio ja x₀ ∈ ℝ funktion f määrittelyjoukon M kasautumispiste. Silloin sanotaan, että L ∈ ℝ on funktion f raja-arvo pisteessä x₀, jos

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in M)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Ja nyt, mitä tämä määritelmä tarkoittaa. Äärellinen piste tarkoittaa tässä tapauksessa, että piste on reaaliluku. Myöhemmin puhutaan raja-arvoista äärettömissä pisteissä, mikä tarkoittaa ääretöntä. Yritetään laskea tämä raja-arvo:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Tällaisilla yksinkertaisilla funktioilla funktion raja-arvo pisteessä x₀ on yhtä suuri kuin funktion arvo tässä pisteessä: f(x₀). Myöhemmin määritellään tarkasti, mitä ”yksinkertainen funktio” tarkoittaa. Piirretään nyt kaikki kuvaan:

Musta suora esittää funktion $f(x)=\frac{x}{3}$ kuvaajaa, punainen piste x₀ edustaa pistettä, jossa raja-arvoa haetaan, ja vihreä piste L edustaa lopullista raja-arvoa. Huomaa, että raja-arvo esitetään y-akselilla.

Edetään määritelmän mukaan. Määritelmän alussa on (∀ϵ > 0) ja myöhemmin ϵ esiintyy lausekkeessa |f(x) − L|<ϵ – tämä on matemaattinen tapa sanoa, että halutaan kaikkien arvojen f(x) olevan luvusta L vähemmän kuin ϵ:n päässä. Haetaan siis pisteen L ϵ-ympäristöä y-akselilla. Määritelmän mukaan voidaan valita mikä tahansa ϵ > 0, valitaan vaikkapa $ϵ=\frac{3}{10}$. Etsitään y-akselilta pisteet, jotka ovat pisteestä L täsmälleen ϵ:n päässä:

Kaikki y-akselin pisteet, jotka ovat näiden vihreiden viivojen välissä, ovat pisteen L ϵ-ympäristössä. Näistä pisteistä määritelmä puhuu.

Määritelmä jatkuu lausekkeella (∃δ>0), jota käytetään edelleen lausekkeessa 0<|x − x₀|<δ. Sanotaan, että jonkin erotuksen x − x₀ on oltava pienempi kuin δ. Koska x, x₀ ovat x-akselilla, myös arvo δ esitetään x-akselilla. Lauseke 0<|x − x₀|<δ sanoo taas, että otetaan kaikki x, jotka ovat pisteestä x₀ vähemmän kuin δ:n päässä mutta samalla enemmän kuin nollan päässä, eli x ≠ x₀. Tämä tarkoittaa, että kyseinen merkintä esittää pisteen x₀ puhkaistua δ-ympäristöä. Määritelmä voidaan siis kirjoittaa yhtäpitävästi pisteiden ympäristöjen avulla:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in M)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Palataan edelliseen määritelmään ja jatketaan kuvan piirtämistä: Jotta tämä voitaisiin esittää, tarvitaan määritelmän seuraava osa:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Eli kaikille pisteen x₀ puhkaistun δ-ympäristön pisteille x täytyy päteä… jokin ehto. Lisätään kuvaan pisteen x₀ puhkaistu δ-ympäristö, esimerkiksi kun $\delta =\frac{3}{2}$:

Kaikki x, jotka ovat punaisten katkoviivojen välissä, kuuluvat pisteen x₀ δ-ympäristöön, paitsi itse piste x₀. Katsotaan uudelleen edellistä ehtoa:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Kaikille pisteen x₀ puhkaistun δ-ympäristön pisteille x täytyy päteä, että kaikki funktion arvot f(x) ovat pisteen L ϵ-ympäristössä. Otetaan siis kaikki pisteen x₀ puhkaistun δ-ympäristön pisteet x ja lasketaan funktion arvot. Nämä funktion arvot on esitetty seuraavassa kuvassa sinisellä janalla:

Piste x₀ ei ole puhkaistussa ympäristössä, siksi kyseisessä kohdassa on rengas. Määritelmä sanoo, että kaikkien näiden sinisten pisteiden täytyy olla pisteen L ϵ-ympäristössä. Kuvan värien kielellä: kaikkien sinisten pisteiden täytyy olla vihreiden viivojen välissä, jotka esittävät ϵ-ympäristöä. Pitääkö se paikkansa?

Ei tietenkään pidä, esimerkiksi pisteellä $x=\frac{16}{10}$ saadaan selvästi sininen piste, joka ei ole vihreiden viivojen välissä, eli ei ole pisteen L ϵ-ympäristössä.

Se ei kuitenkaan haittaa, sillä määritelmä sanoo, että jokaista pisteen L ϵ-ympäristöä kohti täytyy olla olemassa jokin δ-ympäristö siten, että … ehdon loppuosa. Se tarkoittaa, että riittää, kun on olemassa yksi tällainen δ-ympäristö. Arvo $\delta =\frac{3}{2}$ ei selvästikään ollut hyvä valinta, mutta voidaan kokeilla toista δ:aa, esimerkiksi $\delta =\frac{1}{2}$. Kuva muuttuisi näin:

Katsotaan taas, ovatko kaikki funktion arvot kaikilla pisteen x₀ puhkaistun δ-ympäristön pisteillä x pisteen L ϵ-ympäristössä. Lyhyesti: ovatko kaikki siniset pisteet vihreiden viivojen välissä. Kyllä, nyt ne ovat, hurraa.

Tarkoittaako se, että L on funktion raja-arvo pisteessä x₀? Ei välttämättä, sillä määritelmä sanoo (∀ϵ > 0) …. Määritelmä on tarkistettu toistaiseksi yhdelle tietylle ϵ:lle, ja jäljellä on vielä … äärettömän monta muuta.

Toisin sanoen – jotta todella pätisi $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, jokaiselle ϵ-ympäristölle pitäisi löytää jokin δ-ympäristö siten, että edellinen ehto pätee. Kuvasta nähdään, että tällainen δ-ympäristö löytyy aina, esimerkiksi jos ϵ pienennetään arvoon $ϵ=\frac{1}{10}$, voidaan δ pienentää arvoon $\delta =\frac{2}{10}$ ja se toimii:

Kuinka pieni ϵ tahansa otetaankin, on aina löydettävä sellainen δ, että funktion arvot saadaan raja-arvon L ϵ-ympäristöön.

Äärellisen raja-arvon todistus äärellisessä pisteessä

Yritetään todistaa edellinen raja-arvo oikeasti. Kuvasta jo tiedetään, että luultavasti

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

nyt yritetään todistaa se matemaattisesti. Kuvasta voisi päätellä, että jos δ:ksi otetaan aina sama arvo kuin ϵ, se voisi onnistua. Asetetaan siis δ = ϵ. Nyt täytyy todistaa

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{kaikilla}x\in ]x_0-\delta ,x_0[\cup ]x_0,x_0+\delta [$$

Koska asetettiin δ = ϵ, vaihdetaan kaikki δ:t ϵ:ksi:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{kaikilla}x\in ]x_0-ϵ,x_0[\cup ]x_0,x_0+ϵ[$$

L:n paikalle sijoitetaan 1 ja x₀:n paikalle 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{kaikilla}x\in ]3-ϵ,3[\cup ]3,3+ϵ[$$

Nyt pitäisi todistaa kaikki epäyhtälöt. Koska funktio $\frac{x}{3}$ on aidosti kasvava, riittää tarkistaa reunapisteet 3 − ϵ ja 3 + ϵ. Aloitetaan pisteestä 3 − ϵ – sijoitetaan funktioon $\frac{x}{3}$ arvo 3 − ϵ ja osoitetaan, että tämä arvo täyttää aina epäyhtälöt 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Sama pisteelle 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Väärin määritetty raja-arvo

Piirretään nyt vielä luonnos siitä, mitä tapahtuisi, jos luultaisiin, että funktion raja-arvo, kun x lähestyy kolmea, on puoli. Valittaisiin jokin pieni epsilon-ympäristö:

Ja tässä vaiheessa ei enää voida löytää sellaista pisteen x₀ delta-ympäristöä, jonka kaikki funktion arvot mahtuisivat näiden vihreiden viivojen väliin. Nähdään, että valitulla δ-ympäristöllä kaikki siniset pisteet ovat vihreiden viivojen ulkopuolella. Jos δ-ympäristöä suurennettaisiin, kasvatettaisiin vain niiden sinisten pisteiden määrää, joita ei saada vihreiden viivojen väliin.

Signumin raja-arvo

Signum on kaunis funktio, joka luultavasti sekoittaa pääsi. Tässä sen kuvaaja:

Kuvaaja ei ole aivan selvä, joten sanallinen kuvaus: jos x on negatiivinen, signum on miinus yksi, jos positiivinen, signum on plus yksi, ja jos x on nolla, myös signum on nolla. Muokataan kuvaajaa itseisarvon avulla f(x) = |sgn(x)|, jolloin saadaan |sgn(0)| = 0 ja muissa tapauksissa |sgn(x)| = 1. Kuvaaja:

Kysymys kuuluu, mikä tämä raja-arvo on?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Funktio on määritelty pisteessä nolla, ja funktion arvo on myös nolla. Se ei kuitenkaan kerro, että myös raja-arvo olisi nolla. Raja-arvo voi poiketa funktion arvosta kyseisessä pisteessä.

Ainoa tapa valita raja-arvo niin, että määritelmä toteutuu oikein, on valita raja-arvoksi yksi. Voidaan turvautua myös intuitioon: mitä funktion arvo lähestyy, kun x lähestyy nollaa vasemmalta? Se lähestyy jatkuvasti ykköstä. Se, että lopussa se hyppää nollaan, ei haittaa. Vastaavasti kun x lähestyy nollaa oikealta.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Jos funktio jätettäisiin alkuperäiseen muotoonsa, eli f(x) = sgn(x), funktiolla ei olisi raja-arvoa pisteessä nolla, vaan sillä olisi kaksi eri toispuoleista raja-arvoa. Vasemmalta funktio lähestyisi miinus yhtä ja oikealta plus yhtä. Voit yrittää todistaa tämän määritelmän mukaan.

Raja-arvot, joita ei ole

Näytetään vielä muutama esimerkki tapauksista, joissa raja-arvoja ei ole.

Yksinkertaisin esimerkki raja-arvon puuttumisesta on laskea raja-arvo pisteessä, joka ei ole funktion määrittelyjoukon kasautumispiste. Esimerkiksi raja-arvoa ei siis ole:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Kuvaaja:

Jaksollisilla funktioilla ei usein ole raja-arvoa äärettömyydessä (ei päde kaikille!). Tyypillisesti trigonometrisilla funktioilla, kuten esimerkiksi sinillä. Tässä sinin kuvaaja:

Raja-arvoa äärettömyydessä ei yksinkertaisesti ole, sinin arvo värähtelee jatkuvasti yhden ja miinus yhden välillä, joten raja-arvoa ei voi laskea.