Граница на функция

Границата на функция е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Тя описва поведението на дадена функция в околност на определена точка, благодарение на което можем например да определим непрекъснатост на функция. Границата на функция ни помага да разберем поведението на функцията и на места, в които изобщо не е определена.

Околност на точка

Започваме с определението за епсилон-околност на точка в множеството на реалните числа. Нека r ∈ ℝ. Тогава епсилон-околност на тази точка за ϵ > 0 наричаме отворения интервал (r − ϵ; r + ϵ). Пробитата епсилон-околност е същата, само че не съдържа точката r. Пробитата околност е (r − ϵ; r) ∪ (r; r + ϵ). Епсилон-околността на точката a означаваме с U(a, ϵ), а пробитата околност с R(a, ϵ).

За пример вземаме числото пет и неговата 2-околност. Пресмятаме U(5, 2), което е интервалът (5 − 2; 5 + 2) = (3; 7). Пробитата околност би била R(5, 2) = (3; 5) ∪ (5; 7). Същата околност, само че без точката пет. Графично изобразена, 2-околността на точката 5 изглежда така:

Пробитата 2-околност би изглеждала същото, само че без синята точка 5.

Точка на сгъстяване

Освен това трябва да знаем определението за точка на сгъстяване на множество. Елементът a ∈ ℝ е точка на сгъстяване на множеството M ⊆ ℝ, ако във всяка негова пробита околност, колкото и малка, лежи някоя точка на множеството M. По-точно:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Примери: всяко реално число е точка на сгъстяване на множеството на реалните числа. Ако изберем числото 10, във всяка пробита околност на тази точка винаги ще намерим реално число. За $ϵ=\frac{1}{100}$ получаваме пробитата околност (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). И в двата интервала има реално число – по-точно, има безкрайно много реални числа. Така че колкото и малко ϵ да вземем, винаги получаваме интервали, които съдържат безкрайно много реални числа.

Ако за M изберем множеството на естествените числа, няма да намерим никаква точка на сгъстяване. Например числото $\frac{1}{2}$ не е точка на сгъстяване, защото за $ϵ=\frac{1}{10}$ получаваме интервалите (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), като нито един от интервалите не съдържа естествено число.

Мотивация за границите

Започваме с най-лесното определение – крайна граница в крайна точка. Първо ще покажем какво всъщност ще искаме да пресметнем. Разгледай следната графика на функцията сигнум:

Ако вземем точката x₁ = 3, стойността на функцията в тази точка е 1. Изпълнено е sgn(3) = 1. Освен това във всички „близки“ околни точки функцията има стойност 1, например sgn(2,5) = 1 или sgn(3,5) = 1. Когато се приближаваме към точката x₁ = 3 отляво или отдясно, стойностите на функцията винаги са равни на едно.

Но ако вземем точката x₂ = 0, е изпълнено sgn(0) = 0, а всички околни точки имат друга стойност! Например $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ или $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Стойностите отдясно се приближават към 1, докато стойностите отляво се приближават към −1. А накрая в точката x₂ = 0 получаваме стойност 0. Ето го капанът. Тези стойности, към които функцията се приближава в дадената точка, се наричат граници на функцията в точка.

Определение на крайна граница в крайна точка

Нека f е функция и x₀ ∈ ℝ е точка на сгъстяване на дефиниционното множество на функцията f. Тогава казваме, че L ∈ ℝ е граница на функцията f в точката x₀, ако

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

А сега какво означава това определение. Крайна точка в този случай означава, че дадената точка е реално число. По-нататък ще говорим за граници в безкрайни точки, което ще означава безкрайност. Да опитаме да пресметнем тази граница:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

При толкова прости функции границата на функцията в точката x₀ е равна на стойността на функцията в тази точка: f(x₀). По-нататък ще определим точно какво означава „проста функция“. Сега ще нанесем всичко на чертеж:

Черната права е графиката на функцията $f(x)=\frac{x}{3}$, червената точка x₀ е точката, в която търсим границата, а зелената точка L е получената граница. Забележи, че границата изобразяваме върху оста y.

Продължаваме по определението. На първо място в определението е (∀ϵ > 0), а по-късно ϵ се използва в |f(x) − L|<ϵ – това е математическият запис на това, че искаме всички f(x) да са на разстояние от L, по-малко от ϵ. Така търсим ϵ-околността на точката L върху оста y. Според определението можем да изберем произволно ϵ > 0, нека изберем например $ϵ=\frac{3}{10}$. Намираме върху оста y точките, които са на разстояние точно ϵ от точката L:

Всички точки върху оста y, които се намират между тези зелени линии, са в ϵ-околността на точката L. Това са точките, за които говори определението.

Определението продължава с израза (∃δ>0), който се използва по-нататък в израза 0<|x − x₀|<δ. Казваме, че някаква разлика x − x₀ трябва да е по-малка от δ. Тъй като x, x₀ са върху оста x, и стойността на δ ще изобразяваме върху оста x. Изразът 0<|x − x₀|<δ ни казва отново да вземем всички x, които са на разстояние от x₀ по-малко от δ, но същевременно по-голямо от нула, т.е. x ≠ x₀. Това означава, че този запис задава пробитата δ-околност на точката x₀. Определението за граница можем да препишем еквивалентно чрез околности на точки:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Връщаме се към предишното определение и продължаваме с чертежа. За да го изобразим, ни трябва още една част от определението:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Т.е. за всички x от пробитата δ-околност на точката x₀ трябва да е изпълнено… някакво условие. Добавяме към чертежа пробитата δ-околност на точката x₀, например за $\delta =\frac{3}{2}$:

Всички x, които се намират между червените прекъснати линии, принадлежат на δ-околността на x₀, с изключение на самата точка x₀. Отново поглеждаме предишното условие:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

За всички x от пробитата δ-околност на точката x₀ трябва да е изпълнено, че всички стойности f(x) се намират в ϵ-околността на точката L. Вземаме всички x от пробитата δ-околност на точката x₀ и пресмятаме стойностите на функцията. На следния чертеж те са изобразени със синя отсечка:

Точката x₀ не е в пробитата околност, затова на това място има кръгче. Определението ни казва, че за всички тези сини точки трябва да е изпълнено, че са в ϵ-околността на точката L. Казано с цветовете на чертежа: всички сини точки трябва да са разположени между зелените линии, които изобразяват ϵ-околността. Изпълнено ли е това?

Разбира се, че не е, например за $x=\frac{16}{10}$ очевидно получаваме синя точка, която не е между зелените линии, т.е. не е в ϵ-околността на точката L.

Това обаче не пречи, определението ни казва, че за всяка ϵ-околност на точката L трябва да съществува някоя δ-околност, такава че … остатъкът от условието. Това означава, че е достатъчно да съществува една такава δ-околност. $\delta =\frac{3}{2}$ очевидно не беше добър избор, но можем да опитаме друго δ, например $\delta =\frac{1}{2}$. Чертежът би се променил така:

Отново проверяваме дали всички стойности на функцията за всички x от пробитата δ-околност на точката x₀ са в ϵ-околността на точката L. Накратко, дали всички сини точки са между зелените линии. Да, сега вече са, ура.

Означава ли това, че L е граница на функцията в точката x₀? Не непременно, защото определението казва, че (∀ϵ > 0) …. Засега проверихме определението само за едно конкретно ϵ, а остават още … безкрайно много.

С други думи – за да е наистина вярно, че $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, трябва за всяка ϵ-околност да намерим някоя δ-околност, такава че да е изпълнено предишното условие. От чертежа можем да видим, че такава δ-околност винаги намираме, например ако намалим ϵ на $ϵ=\frac{1}{10}$, можем да намалим δ на $\delta =\frac{2}{10}$ и ще работи:

Колкото и малко да вземем ϵ, винаги трябва да можем да намерим такова δ, че да успеем да вкараме стойностите на функцията в ϵ-околността на границата L.

Доказателство за крайна граница в крайна точка

Нека наистина докажем предишната граница. От чертежа вече знаем, че най-вероятно

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

а сега ще се опитаме да го докажем математически. От чертежа можем да заключим, че ако винаги вземаме за δ същата стойност като ϵ, може да се получи. Затова полагаме δ = ϵ. Сега трябва да докажем

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{за всяко}x\in (x_0-\delta ;x_0)\cup (x_0;x_0+\delta )$$

Тъй като положихме δ = ϵ, заменяме всички δ с ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{за всяко}x\in (x_0-ϵ;x_0)\cup (x_0;x_0+ϵ)$$

Вместо L заместваме 1, а вместо x₀ заместваме 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{за всяко}x\in (3-ϵ;3)\cup (3;3+ϵ)$$

Сега трябва да докажем всички неравенства. Тъй като функцията $\frac{x}{3}$ е растяща, е достатъчно да проверим крайните точки 3 − ϵ и 3 + ϵ. Започваме с 3 − ϵ – заместваме във функцията $\frac{x}{3}$ стойността 3 − ϵ и показваме, че тази стойност винаги удовлетворява неравенствата 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Същото с 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Неправилно определена граница

Сега ще скицираме какво би станало, ако си мислим, че границата на функцията, когато x се приближава към три, е една втора. Избираме някоя малка епсилон-околност:

И в този момент вече не можем да намерим такава делта-околност на точката x₀, че всички стойности на функцията в нея да се побират между тези зелени линии. Виждаме, че за избраната δ-околност всички сини точки са извън зелените линии. Ако увеличим δ-околността, ще увеличим само броя на сините точки, които не можем да вкараме между зелените линии.

Граница на сигнум

Сигнум е прекрасна функция, която вероятно ще те обърка. Следва графиката:

Графиката не е съвсем ясна, затова словесно описание: ако x е отрицателно, сигнум е минус едно, ако е положително, сигнум е плюс едно, а ако x е нула, и сигнум е нула. Променяме графиката чрез абсолютна стойност f(x) = |sgn(x)| и получаваме |sgn(0)| = 0, а във всички останали случаи |sgn(x)| = 1. Графика:

Въпросът е на какво е равна тази граница?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Функцията е определена в точката нула и стойността ѝ е също нула. Това обаче не ни казва, че и границата ще е равна на нула. Границата може да се различава от стойността на функцията в дадената точка.

Единствената възможност да изберем границата така, че определението да е изпълнено, е да изберем за граница единица. Можем да си помогнем и с интуицията: към какво се приближава стойността на функцията, когато x се приближава към нула отляво? Непрекъснато се приближава към единица. Това, че накрая скача до нула, не ни пречи. Аналогично за x, което се приближава към нула отдясно.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Ако оставим функцията в първоначалния ѝ вид, т.е. f(x) = sgn(x), функцията в точката нула няма да има граница, а ще има две различни едностранни граници. Отляво функцията ще се приближава към минус едно, а отдясно към плюс едно. Можеш да опиташ да го докажеш по определението.

Несъществуващи граници

Ще покажем още няколко примера, когато границите не съществуват.

Най-простият пример за несъществуване на граница е да пресметнем граница в точка, която не е точка на сгъстяване на D(f). Така например не съществува границата:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Графика:

Периодичните функции често нямат граница в безкрайността (не важи за всички!). Типичен пример са тригонометричните функции, например синусът. Следва графиката:

Границата в безкрайността просто не съществува, стойността на синуса непрекъснато осцилира между единица и минус единица, затова границата не може да се пресметне.