Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun limiti, matematiksel analizin en önemli kavramlarından biridir. Bir fonksiyonun belirli bir noktanın çevresindeki davranışını anlatır; bu sayede örneğin fonksiyonun sürekliliğini tanımlayabiliriz. Limit, fonksiyonun hiç tanımlı olmadığı noktalardaki davranışını da anlamamıza yardımcı olur.

Noktanın Komşuluğu

Gerçek sayılar kümesinde bir noktanın epsilon komşuluğu tanımıyla başlayalım. r ∈ ℝ olsun. O zaman bu noktanın ϵ > 0 için epsilon komşuluğu, (r − ϵ, r + ϵ) açık aralığıdır. Delinmiş epsilon komşuluğu da aynıdır, yalnızca r noktasını içermez. Delinmiş komşuluk (r − ϵ, r) ∪ (r, r + ϵ) olur. a noktasının epsilon komşuluğunu U(a, ϵ), delinmiş komşuluğunu ise R(a, ϵ) ile gösteririz.

Örnek olarak beş sayısını ve onun 2-komşuluğunu alalım. U(5, 2) hesaplanır; bu, (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7) aralığıdır. Delinmiş komşuluk R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7) olur. Aynı komşuluk, yalnızca beş noktası olmadan. 5 noktasının 2-komşuluğunun grafiği:

Delinmiş 2-komşuluk da aynı görünür, yalnızca mavi 5 noktası dahil edilmez.

Yığılma Noktası

Şimdi bir kümenin yığılma noktasının tanımını bilmemiz gerekiyor. a noktasının her delinmiş komşuluğunda, ne kadar küçük olursa olsun, M kümesinin bir noktası varsa a ∈ ℝ elemanı, M ⊂ ℝ kümesinin yığılma noktasıdır. Daha kesin olarak:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Örnekler: her gerçek sayı, gerçek sayılar kümesinin yığılma noktasıdır. 10 sayısını seçersek, bu noktanın herhangi bir delinmiş komşuluğunda her zaman bir gerçek sayı buluruz. $ϵ=\frac{1}{100}$ için (9,99; 10) ∪ (10; 10,01) delinmiş komşuluğunu elde ederiz. Her iki aralıkta da bir gerçek sayı bulunur — daha doğrusu orada sonsuz çoklukta gerçek sayı vardır. Yani ϵ’u ne kadar küçük alırsak alalım, her zaman sonsuz çoklukta gerçek sayı içeren aralıklar elde ederiz.

M yerine pozitif tam sayılar kümesini alsaydık, hiçbir yığılma noktası bulamazdık. Örneğin $\frac{1}{2}$ sayısı yığılma noktası değildir, çünkü $ϵ=\frac{1}{10}$ için (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6) aralıklarını elde ederiz ve bu aralıkların hiçbiri pozitif tam sayı içermez.

Limite Motivasyon

En kolay tanımla başlayalım — sonlu noktada sonlu limit. Önce aslında neyi hesaplamak istediğimizi gösterelim. İşaret fonksiyonunun (signum) şu grafiğine bak:

x₁ = 3 noktasını alırsak, bu noktadaki fonksiyon değeri 1’dir. Yani sgn(3) = 1 olur. Aynı zamanda, çevredeki “yakın” noktaların hepsinde de fonksiyon değeri 1’dir; örneğin sgn(2,5) = 1 ya da sgn(3,5) = 1. x₁ = 3 noktasına soldan ya da sağdan yaklaşırsak, fonksiyon değerleri hep bire eşittir.

Ama x₂ = 0 noktasını alırsak, sgn(0) = 0 olur; oysa çevredeki tüm noktaların fonksiyon değeri farklıdır! Örneğin $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ ya da $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Sağdan fonksiyon değerleri 1’e yaklaşırken soldan −1’e yaklaşır. En sonunda x₂ = 0 noktasında ise fonksiyon değeri 0 çıkar. Eyvah! Fonksiyonun belirli bir noktada yaklaştığı bu değerlere, fonksiyonun o noktadaki limitleri denir.

Sonlu Noktada Sonlu Limitin Tanımı

f bir fonksiyon, x₀ ∈ ℝ ise f fonksiyonunun tanım kümesinin yığılma noktası olsun. O zaman aşağıdaki koşul sağlanıyorsa L ∈ ℝ sayısına f fonksiyonunun x₀ noktasındaki limiti deriz:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \text{tanım kümesi})(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Şimdi bu tanım ne anlama geliyor? Burada sonlu nokta, verilen noktanın bir gerçek sayı olması demektir. İleride sonsuzdaki, yani sonsuz noktalardaki limitlerden de söz edeceğiz. Şu limiti hesaplamayı deneyelim:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Bu kadar basit fonksiyonlarda, fonksiyonun x₀ noktasındaki limiti, bu noktadaki fonksiyon değerine eşittir: f(x₀). “Basit fonksiyonun” tam olarak ne demek olduğunu ileride kesin olarak tanımlayacağız. Şimdi her şeyi şekle çizelim:

Siyah doğru $f(x)=\frac{x}{3}$ fonksiyonunun grafiğidir, kırmızı x₀ noktası limitini aradığımız noktayı, yeşil L noktası ise sonuçta bulunan limiti gösterir. Limiti y ekseni üzerinde gösterdiğimize dikkat et.

Tanıma göre devam edelim. Tanımın başında (∀ϵ > 0) vardır ve ϵ daha sonra |f(x) − L|<ϵ ifadesinde kullanılır — bu, tüm f(x) değerlerinin L’den ϵ’dan daha az uzakta olmasını istediğimizin matematiksel yazılışıdır. Yani y ekseninde L noktasının ϵ-komşuluğunu arıyoruz. Tanıma göre ϵ > 0 olacak şekilde istediğimiz değeri seçebiliriz; örneğin $ϵ=\frac{3}{10}$ seçelim. y ekseninde L noktasına tam ϵ uzaklıktaki noktaları bulalım:

y ekseninde bu yeşil çizgilerin arasında kalan tüm noktalar L noktasının ϵ-komşuluğundadır. Tanımın söz ettiği noktalar bunlardır.

Tanım (∃δ>0) ifadesiyle devam eder; bu ifade 0<|x − x₀|<δ içinde kullanılır. Bir x − x₀ farkının δ’dan küçük olmasını istiyoruz. x, x₀ noktaları x ekseni üzerinde olduğundan, δ değerini de x ekseninde göstereceğiz. Üstelik 0<|x − x₀|<δ ifadesi bize yine x₀’a uzaklığı δ’dan az, ama aynı zamanda sıfırdan fazla olan tüm x değerlerini almamızı söyler, yani x ≠ x₀. Bu yazılış, x₀ noktasının delinmiş δ-komşuluğunu belirtir. Dolayısıyla limit tanımını noktaların komşuluklarıyla da eşdeğer biçimde yazabiliriz:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \text{tanım kümesi})(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Önceki tanıma dönelim ve şekli çizmeye devam edelim: Bunu göstermek için tanımın bir sonraki kısmına ihtiyacımız var:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Yani x₀ noktasının delinmiş δ-komşuluğundaki tüm x değerleri için… bir koşul sağlanmalıdır. Şekle x₀ noktasının delinmiş δ-komşuluğunu ekleyelim, örneğin $\delta =\frac{3}{2}$ için:

Kırmızı kesikli çizgilerin arasındaki tüm x değerleri, x₀ noktasının kendisi dışında, δ-komşuluğuna aittir. Önceki koşula tekrar bakalım:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

x₀ noktasının delinmiş δ-komşuluğundaki tüm x değerleri için, tüm f(x) fonksiyon değerlerinin L noktasının ϵ-komşuluğunda bulunması gerekir. Öyleyse x₀ noktasının delinmiş δ-komşuluğundaki tüm x değerlerini alıp fonksiyon değerlerini hesaplayalım. Bu fonksiyon değerleri aşağıdaki şekilde mavi doğru parçasıyla gösterilmiştir:

x₀ noktası delinmiş komşuluğa dahil değildir, bu yüzden orada içi boş bir nokta vardır. Tanım bize, tüm bu mavi noktaların L noktasının ϵ-komşuluğunda olması gerektiğini söyler. Şeklin renkleriyle söylersek: tüm mavi noktalar yeşil çizgilerin arasında olmalıdır; bu çizgiler ϵ-komşuluğunu gösterir. Böyle mi?

Elbette değil, örneğin $x=\frac{16}{10}$ için yeşil çizgilerin arasında olmayan, yani L noktasının ϵ-komşuluğunda bulunmayan bir mavi nokta elde ederiz.

Ama bu sorun değil; tanım bize, L noktasının her ϵ-komşuluğu için öyle bir δ-komşuluğunun var olması gerektiğini söyler ki … koşulun geri kalanı sağlansın. Yani böyle bir δ-komşuluğunun bir tane var olması yeter. $\delta =\frac{3}{2}$ belli ki iyi bir seçim değildi, ama başka bir δ deneyebiliriz, örneğin $\delta =\frac{1}{2}$. Şekil şöyle değişir:

Yine x₀ noktasının delinmiş δ-komşuluğundaki tüm x değerleri için fonksiyon değerlerinin L noktasının ϵ-komşuluğunda olup olmadığına bakalım. Kısacası tüm mavi noktalar yeşil çizgilerin arasında mı? Evet, bu sefer öyle, yaşasın.

Bu, L sayısının fonksiyonun x₀ noktasındaki limiti olduğu anlamına mı gelir? Zorunlu olarak değil, çünkü tanım (∀ϵ > 0) … der. Biz tanımı şimdilik yalnızca belirli bir ϵ için kontrol ettik, geriye daha … sonsuz çoklukta ϵ kaldı.

Başka bir deyişle — $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$ eşitliğinin gerçekten sağlanması için, her ϵ-komşuluğuna karşılık, önceki koşulun sağlanacağı bir δ-komşuluğu bulmamız gerekir. Şekilden böyle bir δ-komşuluğunun her zaman bulunduğunu görebiliriz; örneğin ϵ’u $ϵ=\frac{1}{10}$ değerine düşürürsek, δ’yı da $\delta =\frac{2}{10}$ değerine düşürebiliriz ve bu işe yarar:

ϵ’u ne kadar küçük alırsak alalım, fonksiyon değerlerini L limitinin ϵ-komşuluğuna sokabilmek için her zaman bir δ bulmamız gerekir.

Sonlu Noktada Sonlu Limitin İspatı

Önceki limiti gerçekten ispatlamayı deneyelim. Şekilden zaten büyük olasılıkla

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$$

olduğunu biliyoruz; şimdi bunu matematiksel olarak ispatlamayı deneyelim. Şekilden, δ yerine her zaman ϵ ile aynı değeri alırsak işin yürüyebileceğini çıkarabiliriz. O halde δ = ϵ alalım. Şimdi şunu ispatlamamız gerekir:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{tüm}x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )\text{için}$$

δ = ϵ aldığımız için, tüm δ’ları ϵ ile değiştirelim:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{tüm}x\in (x_0-ϵ,x_0)\cup (x_0,x_0+ϵ)\text{için}$$

L yerine 1, x₀ yerine 3 yazalım:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{tüm}x\in (3-ϵ,3)\cup (3,3+ϵ)\text{için}$$

Şimdi tüm eşitsizlikleri ispatlamamız gerekir. $\frac{x}{3}$ fonksiyonu artan olduğundan, yalnızca 3 − ϵ ve 3 + ϵ uç noktalarını kontrol etmemiz yeter. 3 − ϵ ile başlayalım — $\frac{x}{3}$ fonksiyonuna 3 − ϵ değerini yazalım ve bu değerin her zaman 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ eşitsizliklerini sağlayacağını gösterelim:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Aynısını 3 + ϵ için yapalım:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Hatalı Belirlenmiş Limit

Şimdi de, x üçe yaklaşırken fonksiyonun limitinin yarım olduğunu düşünseydik ne olacağını çizelim. Küçük bir epsilon komşuluğu seçelim:

Bu noktada artık, tüm fonksiyon değerlerinin bu yeşil çizgilerin arasına sığacağı bir delta komşuluğu bulamayız. Seçilen δ komşuluğu için tüm mavi noktaların yeşil çizgilerin dışında kaldığını görüyoruz. δ-komşuluğunu büyütsek, yalnızca yeşil çizgilerin arasına sokamadığımız mavi noktaların sayısını artırırız.

İşaret Fonksiyonunun Limiti

İşaret fonksiyonu (signum), muhtemelen kafanı karıştıracak güzel bir fonksiyondur. Grafiği aşağıda:

Grafik pek net değil, o yüzden sözlü açıklama: x negatifse signum eksi birdir, pozitifse artı birdir, x sıfırsa signum da sıfırdır. Grafiği mutlak değerle değiştirelim, f(x) = |sgn(x)| olsun; böylece |sgn(0)| = 0 elde ederiz, diğer tüm durumlarda |sgn(x)| = 1 olur. Grafik:

Soru şu: bu limit neye eşittir?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Fonksiyon sıfır noktasında tanımlıdır ve fonksiyon değeri de sıfırdır. Ancak bu, limitin de sıfır olacağı anlamına gelmez. Limit, o noktadaki fonksiyon değerinden farklı olabilir.

Tanımın doğru çıkması için limiti seçmenin tek yolu, limiti bir olarak seçmektir. Sezgiden de yararlanabiliriz: x sıfıra soldan yaklaşırken fonksiyon değeri neye yaklaşır? Sürekli bire yaklaşır. Sonunda sıfıra sıçraması bizi rahatsız etmez. x sıfıra sağdan yaklaşırken de benzer şekilde.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Fonksiyonu ilk haliyle, yani f(x) = sgn(x) olarak bırakırsak, fonksiyonun sıfır noktasında limiti olmaz, iki farklı tek taraflı limiti olur. Soldan fonksiyon eksi bire, sağdan artı bire yaklaşır. Tanıma göre bunu ispatlamayı deneyebilirsin.

Var Olmayan Limitler

Limitlerin var olmadığı birkaç örnek daha gösterelim.

Limitin var olmadığı en basit örnek, f fonksiyonunun tanım kümesinin yığılma noktası olmayan bir noktada limiti hesaplamaktır. Örneğin şu limit yoktur:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Grafik:

Periyodik fonksiyonların sonsuzda çoğu zaman limiti yoktur (hepsi için geçerli değil!). Tipik olarak sinüs gibi trigonometrik fonksiyonlar. Grafik aşağıda:

Sonsuzdaki limit kısaca yoktur; sinüsün değeri sürekli bir ile eksi bir arasında salınır, bu yüzden limit hesaplanamaz.