Grenseverdi til en funksjon

Grenseverdien til en funksjon er et av de viktigste begrepene i analysen. Den beskriver hvordan en funksjon oppfører seg i nærheten av et bestemt punkt, og det lar oss for eksempel definere kontinuitet. Grenseverdien hjelper oss å forstå hvordan funksjonen oppfører seg også på steder der den ikke er definert i det hele tatt.

Omegn av et punkt

Vi begynner med definisjonen av epsilon-omegnen til et punkt i mengden av reelle tall. La r ∈ ℝ. Da sier vi at epsilon-omegnen til dette punktet for ϵ > 0 er det åpne intervallet ⟨r − ϵ, r + ϵ⟩. Den punkterte epsilon-omegnen er den samme, bare uten punktet r. Den punkterte omegnen er ⟨r − ϵ, r⟩ ∪ ⟨r, r + ϵ⟩. Epsilon-omegnen til punktet a skriver vi U(a, ϵ), og den punkterte omegnen skriver vi R(a, ϵ).

Som eksempel tar vi tallet fem og 2-omegnen til det. Vi regner altså U(5, 2), som er intervallet ⟨5 − 2, 5 + 2⟩ = ⟨3, 7⟩. Den punkterte omegnen blir R(5, 2) = ⟨3, 5⟩ ∪ ⟨5, 7⟩. Den samme omegnen, bare uten punktet fem. Tegnet som graf ser 2-omegnen til punktet 5 slik ut:

Den punkterte 2-omegnen ser lik ut, men det blå punktet 5 er ikke med.

Opphopningspunkt

Videre må vi kunne definisjonen av opphopningspunkt for en mengde. Et element a ∈ ℝ er et opphopningspunkt for mengden M ⊆ ℝ hvis det i hver punkterte omegn av punktet, hvor liten den enn er, ligger et punkt i mengden M. Mer nøyaktig:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Eksempler: Hvert reelt tall er et opphopningspunkt for mengden av reelle tall. Hvis vi velger tallet 10, finner vi alltid et reelt tall i en vilkårlig punktert omegn av dette punktet. For $ϵ=\frac{1}{100}$ får vi den punkterte omegnen ⟨9,99; 10⟩ ∪ ⟨10; 10,01⟩. I begge intervallene ligger det et reelt tall, nærmere bestemt ligger det uendelig mange reelle tall der. Så uansett hvor lite ϵ vi tar, får vi alltid intervaller som inneholder uendelig mange reelle tall.

Hvis vi velger de naturlige tallene som M, finner vi ikke noe opphopningspunkt. For eksempel er tallet $\frac{1}{2}$ ikke et opphopningspunkt, for med $ϵ=\frac{1}{10}$ får vi intervallene ⟨0,4; 0,5⟩ ∪ ⟨0,5; 0,6⟩, og ingen av dem inneholder noe naturlig tall.

Motivasjon for grenseverdier

Vi begynner med den letteste definisjonen: endelig grenseverdi i et endelig punkt. Først viser vi hva vi egentlig vil regne ut. Se på følgende graf til fortegnsfunksjonen (signum):

Hvis vi tar punktet x₁ = 3, er funksjonsverdien i dette punktet 1. Det gjelder sgn(3) = 1. Samtidig gjelder det også at funksjonen har funksjonsverdien 1 i alle «nære» punkter rundt, for eksempel sgn(2,5) = 1 eller sgn(3,5) = 1. Hvis vi nærmer oss punktet x₁ = 3 fra venstre eller fra høyre, er funksjonsverdiene alltid lik én.

Men hvis vi tar punktet x₂ = 0, gjelder det at sgn(0) = 0, mens alle punktene rundt har en annen funksjonsverdi! For eksempel $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ eller $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Funksjonsverdiene fra høyre nærmer seg verdien 1, mens funksjonsverdiene fra venstre nærmer seg verdien −1. Og til slutt får vi funksjonsverdien 0 i punktet x₂ = 0. Lureri. Verdiene som funksjonen nærmer seg i et gitt punkt, kalles grenseverdiene til funksjonen i punktet.

Definisjon av endelig grenseverdi i et endelig punkt

La f være en funksjon, og la x₀ ∈ ℝ være et opphopningspunkt for definisjonsmengden til funksjonen f. Da sier vi at L ∈ ℝ er grenseverdien til funksjonen f i punktet x₀ hvis

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Og nå til hva denne definisjonen betyr. Et endelig punkt betyr her at punktet er et reelt tall. Senere skal vi snakke om grenseverdier i uendelige punkter, som betyr det uendelige. La oss prøve å regne ut denne grenseverdien:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

For så enkle funksjoner er grenseverdien til funksjonen i punktet x₀ lik funksjonsverdien i dette punktet: f(x₀). Senere skal vi definere nøyaktig hva «enkel funksjon» betyr. Nå tegner vi alt inn i en figur:

Den svarte linjen viser grafen til funksjonen $f(x)=\frac{x}{3}$, det røde punktet x₀ er punktet der vi leter etter grenseverdien, og det grønne punktet L er den resulterende grenseverdien. Legg merke til at vi viser grenseverdien på y-aksen.

Vi går videre etter definisjonen. Først i definisjonen står (∀ϵ > 0), og senere brukes ϵ i |f(x) − L|<ϵ. Det er en matematisk måte å si at vi vil at alle f(x) skal ligge nærmere L enn ϵ. Vi leter altså etter ϵ-omegnen til punktet L på y-aksen. Etter definisjonen kan vi velge hvilket som helst ϵ > 0, og vi velger for eksempel $ϵ=\frac{3}{10}$. Vi finner punktene på y-aksen som ligger akkurat ϵ fra punktet L:

Alle punktene på y-aksen som ligger mellom disse grønne linjene, ligger i ϵ-omegnen til punktet L. Det er disse punktene definisjonen snakker om.

Definisjonen fortsetter med uttrykket (∃δ>0), som senere brukes i uttrykket 0<|x − x₀|<δ. Vi sier at en differanse x − x₀ skal være mindre enn δ. Siden x, x₀ ligger på x-aksen, viser vi også verdien av δ på x-aksen. Uttrykket 0<|x − x₀|<δ forteller oss igjen at vi skal ta alle x som ligger nærmere x₀ enn δ, men samtidig lenger unna enn null, altså x ≠ x₀. Det betyr at denne skrivemåten betegner den punkterte δ-omegnen til punktet x₀. Definisjonen av grenseverdi kan vi dermed skrive om til en ekvivalent form ved hjelp av omegner til punkter:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Vi går tilbake til den forrige definisjonen og fortsetter å tegne figuren. For å vise den trenger vi neste del av definisjonen:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Altså må en betingelse være oppfylt for alle x i den punkterte δ-omegnen til punktet x₀. Vi legger den punkterte δ-omegnen til punktet x₀ inn i figuren, for eksempel for $\delta =\frac{3}{2}$:

Alle x som ligger mellom de røde stiplede linjene, hører til δ-omegnen til x₀, bortsett fra selve punktet x₀. Vi ser på den forrige betingelsen igjen:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

For alle x i den punkterte δ-omegnen til punktet x₀ må alle funksjonsverdiene f(x) ligge i ϵ-omegnen til punktet L. Vi tar derfor alle x i den punkterte δ-omegnen til punktet x₀ og regner ut funksjonsverdiene. Disse funksjonsverdiene er vist med et blått linjestykke på neste figur:

Punktet x₀ ligger ikke i den punkterte omegnen, og derfor er det en åpen ring på det stedet. Definisjonen sier at alle disse blå punktene må ligge i ϵ-omegnen til punktet L. Sagt med fargene på figuren: alle blå punkter må ligge mellom de grønne linjene, som viser ϵ-omegnen. Gjør de det?

Selvfølgelig gjør de ikke det. For eksempel for $x=\frac{16}{10}$ får vi tydeligvis et blått punkt som ikke ligger mellom de grønne linjene, altså ikke i ϵ-omegnen til punktet L.

Det gjør ingenting, for definisjonen sier at for hver ϵ-omegn til punktet L må det finnes en δ-omegn slik at … resten av betingelsen. Det betyr at det er nok at det finnes én slik δ-omegn. $\delta =\frac{3}{2}$ var tydeligvis ikke et godt valg, men vi kan prøve en annen δ, for eksempel $\delta =\frac{1}{2}$. Figuren endrer seg da slik:

Igjen ser vi på om alle funksjonsverdiene for alle x i den punkterte δ-omegnen til punktet x₀ ligger i ϵ-omegnen til punktet L. Kort sagt: om alle de blå punktene ligger mellom de grønne linjene. Ja, nå gjør de det, hurra.

Betyr det at L er grenseverdien til funksjonen i punktet x₀? Ikke nødvendigvis, for definisjonen sier (∀ϵ > 0) …. Vi har så langt bare kontrollert definisjonen for ett bestemt ϵ, og det gjenstår … uendelig mange.

Med andre ord: for at det virkelig skal gjelde at $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, må vi for hver ϵ-omegn finne en δ-omegn slik at den forrige betingelsen er oppfylt. Fra figuren kan vi se at vi alltid finner en slik δ-omegn. Hvis vi for eksempel minsker ϵ til $ϵ=\frac{1}{10}$, kan vi minske δ til $\delta =\frac{2}{10}$, og det vil fungere:

Uansett hvor lite vi tar ϵ, må vi alltid finne en δ slik at vi får funksjonsverdiene inn i ϵ-omegnen til grenseverdien L.

Bevis for endelig grenseverdi i et endelig punkt

La oss prøve å bevise den forrige grenseverdien på ordentlig. Fra figuren vet vi allerede at sannsynligvis

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

og nå prøver vi å bevise det matematisk. Fra figuren kan vi slutte at det kan gå bra hvis vi alltid tar for δ den samme verdien som ϵ har. Vi setter derfor δ = ϵ. Nå må vi bevise

$$\text{L - epsilon < f(x) < L + epsilon, quad mbox{for alle}quad x in leftlanglex\_0-delta, x\_0rightranglecupleftlanglex\_0, x\_0+deltarightrangle}$$

Siden vi satte δ = ϵ, bytter vi ut alle δ med ϵ:

$$\text{L - epsilon < f(x) < L + epsilon, quad mbox{for alle}quad x in leftlanglex\_0-epsilon, x\_0rightranglecupleftlanglex\_0, x\_0+epsilonrightrangle}$$

For L setter vi inn 1 og for x₀ setter vi inn 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{for alle}x\in ⟨3-ϵ,3⟩\cup ⟨3,3+ϵ⟩$$

Nå skal vi bevise alle ulikhetene. Siden funksjonen $\frac{x}{3}$ er strengt voksende, er det nok å kontrollere endepunktene 3 − ϵ og 3 + ϵ. Vi begynner med 3 − ϵ. Vi setter verdien 3 − ϵ inn i funksjonen $\frac{x}{3}$ og viser at denne verdien alltid oppfyller ulikhetene 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Det samme med 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Feil bestemt grenseverdi

Nå skisserer vi hva som ville skje hvis vi trodde at grenseverdien til funksjonen når x nærmer seg tre, er en halv. Vi velger en liten epsilon-omegn:

Nå kan vi ikke lenger finne noen delta-omegn til punktet x₀ der alle funksjonsverdiene får plass mellom de grønne linjene. Vi ser at for den valgte δ-omegnen ligger alle de blå punktene utenfor de grønne linjene. Hvis vi gjorde δ-omegnen større, ville vi bare øke antallet blå punkter som ikke kommer mellom de grønne linjene.

Grenseverdien til signum

Signum er en vakker funksjon som sikkert får hodet ditt til å gå rundt. Grafen kommer her:

Grafen er ikke helt tydelig, så her er en beskrivelse med ord: hvis x er negativ, er signum minus én, hvis den er positiv, er signum pluss én, og hvis x er null, er signum også null. Vi endrer grafen ved hjelp av absoluttverdi, f(x) = |sgn(x)|, og får dermed |sgn(0)| = 0, mens |sgn(x)| = 1 i alle andre tilfeller. Grafen:

Spørsmålet er hva denne grenseverdien er lik:

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Funksjonen er definert i punktet null, og funksjonsverdien er også lik null. Men det betyr ikke at grenseverdien også er lik null. Grenseverdien kan være forskjellig fra funksjonsverdien i punktet.

Den eneste måten å velge grenseverdien slik at definisjonen blir oppfylt, er å velge grenseverdien én. Vi kan også bruke intuisjon: hva nærmer funksjonsverdien seg når x nærmer seg null fra venstre? Den nærmer seg hele tiden én. At den til slutt hopper til null, gjør ingenting. Tilsvarende for x som nærmer seg null fra høyre.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Hvis vi lot funksjonen beholde den opprinnelige formen, altså f(x) = sgn(x), ville funksjonen ikke ha noen grenseverdi i punktet null, men to ulike ensidige grenseverdier. Fra venstre nærmer funksjonen seg minus én, og fra høyre pluss én. Du kan prøve å bevise det etter definisjonen.

Grenseverdier som ikke finnes

Vi viser noen flere eksempler på at grenseverdier ikke finnes.

Det enkleste eksempelet på at en grenseverdi ikke finnes, er å regne ut grenseverdien i et punkt som ikke er et opphopningspunkt for D_f. Grenseverdien finnes for eksempel ikke her:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Graf:

Periodiske funksjoner har ofte ingen grenseverdi i det uendelige (det gjelder ikke alle!). Typisk er trigonometriske funksjoner som sinus. Grafen kommer her:

Grenseverdien i det uendelige finnes rett og slett ikke. Verdien av sinus svinger hele tiden mellom én og minus én, så grenseverdien kan ikke regnes ut.