Limite d’une fonction

La limite d’une fonction est l’une des notions les plus importantes de l’analyse. Elle décrit le comportement d’une fonction au voisinage d’un point, ce qui permet par exemple de définir la continuité d’une fonction. La limite nous aide à comprendre le comportement d’une fonction même aux endroits où elle n’est pas du tout définie.

Voisinage d’un point

Commençons par la définition du voisinage de rayon epsilon d’un point de l’ensemble des nombres réels. Soit r ∈ ℝ. On dit alors que le voisinage de rayon epsilon de ce point, pour ϵ > 0, est l’intervalle ouvert ]r − ϵ ; r + ϵ[. Le voisinage épointé de rayon epsilon est le même, mais il ne contient pas le point r. Le voisinage épointé est ]r − ϵ ; r[ ∪ ]r ; r + ϵ[. Le voisinage de rayon epsilon du point a se note U(a, ϵ), le voisinage épointé se note R(a, ϵ).

Prenons pour exemple le nombre cinq et son voisinage de rayon 2. On calcule donc U(5, 2), qui est l’intervalle ]5 − 2 ; 5 + 2[ = ]3 ; 7[. Le voisinage épointé serait R(5, 2) = ]3 ; 5[ ∪ ]5 ; 7[. C’est le même voisinage, mais sans le point cinq. Voici le voisinage de rayon 2 du point 5 représenté graphiquement :

Le voisinage épointé de rayon 2 aurait le même aspect, mais sans le point bleu 5.

Point d’accumulation

Nous avons ensuite besoin de la définition d’un point d’accumulation d’un ensemble. Un élément a ∈ ℝ est un point d’accumulation d’un ensemble M ⊆ ℝ si, dans chacun de ses voisinages épointés, aussi petit soit-il, se trouve un point de M. Plus précisément :

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Exemples : tout nombre réel est un point d’accumulation de l’ensemble des nombres réels. Si l’on choisit le nombre 10, on trouve toujours un nombre réel dans n’importe quel voisinage épointé de ce point. Pour $ϵ=\frac{1}{100}$, on obtient le voisinage épointé ]9,99 ; 10[ ∪ ]10 ; 10,01[. Dans chacun des deux intervalles se trouve un nombre réel – plus précisément, il s’y trouve une infinité de nombres réels. Donc, quel que soit le ϵ choisi, aussi petit soit-il, on obtient toujours des intervalles qui contiennent une infinité de nombres réels.

Si l’on prenait pour M l’ensemble des nombres entiers naturels, on ne trouverait aucun point d’accumulation. Par exemple, le nombre $\frac{1}{2}$ n’est pas un point d’accumulation, car pour $ϵ=\frac{1}{10}$ on obtient les intervalles ]0,4 ; 0,5[ ∪ ]0,5 ; 0,6[, et aucun des deux ne contient d’entier naturel.

Motivation

Commençons par la définition la plus simple – la limite finie en un réel. Voyons d’abord ce que nous voulons calculer. Regarde le graphe suivant de la fonction signe :

Prenons le point x₁ = 3. L’image de ce point est 1 : on a sgn(3) = 1. De plus, pour tous les points « proches », la fonction vaut aussi 1, par exemple sgn(2,5) = 1 ou sgn(3,5) = 1. Quand on s’approche du point x₁ = 3 par la gauche ou par la droite, les images sont toujours égales à un.

Mais si l’on prend le point x₂ = 0, on a sgn(0) = 0, alors que tous les points voisins ont une image différente ! Par exemple $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ ou $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Les images à droite se rapprochent de la valeur 1, tandis que les images à gauche se rapprochent de la valeur −1. Et au point x₂ = 0 lui-même, on obtient la valeur 0. Attention, piège ! Ces valeurs dont la fonction se rapproche en un point s’appellent les limites de la fonction en ce point.

Définition de la limite finie en un réel

Soit f une fonction et x₀ ∈ ℝ un point d’accumulation de l’ensemble de définition de f. On dit alors que L ∈ ℝ est la limite de la fonction f en x₀ si

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Voyons maintenant ce que signifie cette définition. Ici, un point est « fini » lorsque c’est un nombre réel. Plus tard, nous parlerons des limites en l’infini. Essayons de calculer cette limite :

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Pour des fonctions aussi simples, la limite de la fonction en x₀ est égale à la valeur de la fonction en ce point : f(x₀). Plus tard, nous définirons précisément ce que signifie « fonction simple ». Représentons maintenant tout cela sur une figure :

La droite noire représente la courbe de la fonction $f(x)=\frac{x}{3}$, le point rouge x₀ est le point où l’on cherche la limite, et le point vert L représente la limite obtenue. Remarque que la limite est représentée sur l’axe des ordonnées.

Continuons avec la définition. Au début de la définition, on trouve (∀ϵ > 0), puis ϵ est utilisé dans |f(x) − L|<ϵ – c’est l’écriture mathématique du fait que l’on veut que tous les f(x) soient à une distance de L inférieure à ϵ. On cherche donc le voisinage de rayon ϵ du point L sur l’axe des ordonnées. D’après la définition, on peut choisir n’importe quel ϵ > 0 ; choisissons par exemple $ϵ=\frac{3}{10}$. Trouvons sur l’axe des ordonnées les points qui sont exactement à la distance ϵ du point L :

Tous les points de l’axe des ordonnées situés entre ces deux traits verts se trouvent dans le voisinage de rayon ϵ du point L. Ce sont les points dont parle la définition.

La définition se poursuit par l’expression (∃δ>0), utilisée ensuite dans 0<|x − x₀|<δ. Nous disons qu’une différence x − x₀ doit être inférieure à δ. Comme x et x₀ se trouvent sur l’axe des abscisses, nous représenterons aussi la valeur δ sur l’axe des abscisses. L’expression 0<|x − x₀|<δ nous dit encore de prendre tous les x dont la distance à x₀ est inférieure à δ, mais en même temps supérieure à zéro, c’est-à-dire x ≠ x₀. Cette écriture désigne donc le voisinage épointé de rayon δ du point x₀. On peut donc réécrire la définition de la limite de façon équivalente à l’aide des voisinages :

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in {\mathcal{D}}_f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Revenons à la définition précédente et poursuivons la figure. Pour la représenter, nous avons besoin de la partie suivante de la définition :

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Ainsi, pour tous les x du voisinage épointé de rayon δ du point x₀, une certaine condition doit être vérifiée. Ajoutons à la figure le voisinage épointé de rayon δ du point x₀, par exemple pour $\delta =\frac{3}{2}$ :

Tous les x situés entre les traits rouges en pointillés appartiennent au voisinage de rayon δ de x₀, sauf le point x₀ lui-même. Regardons à nouveau la condition précédente :

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Pour tous les x du voisinage épointé de rayon δ du point x₀, toutes les images f(x) doivent se trouver dans le voisinage de rayon ϵ du point L. Prenons donc tous les x du voisinage épointé de rayon δ du point x₀ et calculons leurs images. Sur la figure suivante, ces images sont représentées par le segment bleu :

Le point x₀ n’appartient pas au voisinage épointé, c’est pourquoi il y a un petit cercle à cet endroit. La définition nous dit que tous ces points bleus doivent se trouver dans le voisinage de rayon ϵ du point L. Autrement dit, avec les couleurs de la figure : tous les points bleus doivent être situés entre les traits verts, qui représentent le voisinage de rayon ϵ. Est-ce le cas ?

Bien sûr que non : par exemple pour $x=\frac{16}{10}$, on obtient manifestement un point bleu qui n’est pas entre les traits verts, c’est-à-dire qui n’est pas dans le voisinage de rayon ϵ du point L.

Ce n’est pas grave : la définition dit que pour tout voisinage de rayon ϵ du point L, il doit exister un voisinage de rayon δ tel que … le reste de la condition. Il nous suffit donc qu’il existe un seul tel voisinage. Le choix $\delta =\frac{3}{2}$ n’était manifestement pas bon, mais nous pouvons essayer un autre δ, par exemple $\delta =\frac{1}{2}$. La figure change alors ainsi :

Regardons de nouveau si toutes les images des x du voisinage épointé de rayon δ de x₀ sont dans le voisinage de rayon ϵ de L. Bref, si tous les points bleus sont entre les traits verts. Oui, cette fois c’est le cas, ouf.

Cela signifie-t-il que L est la limite de la fonction en x₀ ? Pas forcément, car la définition dit que (∀ϵ > 0) …. Nous n’avons vérifié la définition que pour un seul ϵ, et il en reste … une infinité.

Autrement dit, pour que l’on ait vraiment $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, il faudrait trouver, pour chaque voisinage de rayon ϵ, un voisinage de rayon δ tel que la condition précédente soit vérifiée. La figure montre qu’on trouve toujours un tel voisinage : par exemple, si l’on diminue ϵ jusqu’à $ϵ=\frac{1}{10}$, on peut diminuer δ jusqu’à $\delta =\frac{2}{10}$ et cela fonctionnera :

Quel que soit le ϵ choisi, aussi petit soit-il, il faut toujours trouver un δ tel que les images tombent dans le voisinage de rayon ϵ de la limite L.

Démonstration de la limite finie en un réel

Essayons de démontrer vraiment la limite précédente. La figure nous laisse penser que

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

essayons maintenant de le démontrer mathématiquement. D’après la figure, on peut deviner que si l’on prend toujours pour δ la même valeur que ϵ, cela pourrait fonctionner. Posons donc δ = ϵ. Il faut maintenant démontrer que

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{pour tout}x\in ]x_0-\delta ;x_0[\cup ]x_0;x_0+\delta [$$

Comme nous avons posé δ = ϵ, remplaçons tous les δ par ϵ :

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{pour tout}x\in ]x_0-ϵ;x_0[\cup ]x_0;x_0+ϵ[$$

Remplaçons L par 1 et x₀ par 3 :

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{pour tout}x\in ]3-ϵ;3[\cup ]3;3+ϵ[$$

Il faut maintenant démontrer toutes les inégalités. Comme la fonction $\frac{x}{3}$ est strictement croissante, il nous suffit de vérifier les extrémités 3 − ϵ et 3 + ϵ. Commençons par 3 − ϵ : remplaçons x par 3 − ϵ dans la fonction $\frac{x}{3}$ et montrons que cette valeur vérifie toujours les inégalités 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ :

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Même chose avec 3 + ϵ :

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Une limite mal choisie

Esquissons maintenant ce qui se passerait si l’on pensait que la limite de la fonction quand x tend vers trois valait un demi. Choisissons un petit voisinage de rayon epsilon :

Cette fois, on ne peut plus trouver de voisinage de rayon delta de x₀ dont toutes les images tiendraient entre ces traits verts. On voit que, pour le voisinage de rayon δ choisi, tous les points bleus sont en dehors des traits verts. Si l’on agrandissait le voisinage de rayon δ, on ne ferait qu’augmenter le nombre de points bleus que l’on n’arrive pas à faire entrer entre les traits verts.

Limite de la fonction signe

La fonction signe est une fonction magnifique, qui va sans doute te donner le tournis. Voici son graphe :

Le graphe n’est pas tout à fait clair, alors voici une description avec des mots : si x est strictement négatif, le signe vaut moins un ; si x est strictement positif, il vaut plus un ; et si x est nul, le signe est aussi nul. Modifions la fonction à l’aide de la valeur absolue, f(x) = |sgn(x)|, et nous obtenons |sgn(0)| = 0 et |sgn(x)| = 1 dans tous les autres cas. Graphe :

La question est : à quoi est égale cette limite ?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

La fonction est définie en zéro et sa valeur y est aussi égale à zéro. Cela ne nous dit pourtant pas que la limite sera elle aussi égale à zéro. La limite peut être différente de la valeur de la fonction en ce point.

La seule façon de choisir la limite pour que la définition soit vérifiée est de la prendre égale à un. L’intuition peut aussi nous aider : de quoi se rapprochent les images quand x tend vers zéro par la gauche ? Elles se rapprochent constamment de un. Peu importe qu’elles sautent à zéro en dernier. De même pour x qui tend vers zéro par la droite.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Si l’on gardait la fonction sous sa forme initiale, c’est-à-dire f(x) = sgn(x), la fonction n’aurait pas de limite en zéro, mais deux limites à gauche et à droite différentes. À gauche, la fonction se rapproche de moins un, et à droite de plus un. Tu peux essayer de le démontrer à partir de la définition.

Limites qui n’existent pas

Voyons encore quelques exemples où les limites n’existent pas.

L’exemple le plus simple de non-existence d’une limite est de calculer la limite en un point qui n’est pas un point d’accumulation de ${\mathcal{D}}_f$. Par exemple, la limite suivante n’existe pas :

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Courbe :

Les fonctions périodiques n’ont souvent pas de limite en l’infini (ce n’est pas vrai pour toutes !). C’est typiquement le cas des fonctions trigonométriques, comme le sinus. Courbe :

La limite en l’infini n’existe tout simplement pas : la valeur du sinus oscille sans cesse entre un et moins un, donc la limite ne peut pas être calculée.