Limiet van een functie

De limiet van een functie is een van de belangrijkste begrippen van de wiskundige analyse. Ze beschrijft het gedrag van een functie in de omgeving van een bepaald punt, waardoor we bijvoorbeeld de continuïteit van een functie kunnen definiëren. De limiet van een functie helpt ons het gedrag van een functie te begrijpen, ook op plekken waar ze helemaal niet gedefinieerd is.

Omgeving van een punt

We beginnen met de definitie van de epsilon-omgeving van een punt in de verzameling van de reële getallen. Neem r ∈ ℝ. Dan noemen we de epsilon-omgeving van dit punt voor ϵ > 0 het open interval ⟨r − ϵ, r + ϵ⟩. De gepuncteerde epsilon-omgeving is hetzelfde, alleen bevat ze het punt r niet. De gepuncteerde omgeving is ⟨r − ϵ, r⟩ ∪ ⟨r, r + ϵ⟩. De epsilon-omgeving van het punt a noteren we met U(a, ϵ), de gepuncteerde omgeving met R(a, ϵ).

Als voorbeeld nemen we het getal vijf en zijn 2-omgeving. We berekenen dus U(5, 2), dat is het interval ⟨5 − 2, 5 + 2⟩ = ⟨3, 7⟩. De gepuncteerde omgeving zou R(5, 2) = ⟨3, 5⟩ ∪ ⟨5, 7⟩ zijn. Dezelfde omgeving, alleen zonder het punt vijf. De 2-omgeving van het punt 5 in een plaatje:

2-omgeving van het punt 5

De gepuncteerde 2-omgeving zou er hetzelfde uitzien, alleen zou het blauwe punt 5 er niet bij zitten.

Ophopingspunt

Verder moeten we de definitie van een ophopingspunt van een verzameling kennen. Een element a ∈ ℝ is een ophopingspunt van de verzameling M ⊆ ℝ als in elke gepuncteerde omgeving ervan, hoe klein ook, een punt van de verzameling M ligt. Preciezer:

$\forall ϵ > 0 : R (a, ϵ) \cap M \neq \emptyset$

Voorbeelden: elk reëel getal is een ophopingspunt van de verzameling van de reële getallen. Als we het getal 10 kiezen, vinden we in elke gepuncteerde omgeving van dit punt altijd een reëel getal. Voor $ϵ = \frac{1}{100}$ krijgen we de gepuncteerde omgeving ⟨9,99; 10⟩ ∪ ⟨10; 10,01⟩. In beide intervallen zit een reëel getal — preciezer: er zitten oneindig veel reële getallen in. Hoe klein we ϵ ook kiezen, we krijgen altijd intervallen die oneindig veel reële getallen bevatten.

Als we voor M de verzameling van de natuurlijke getallen kiezen, vinden we geen enkel ophopingspunt. Het getal $\frac{1}{2}$ is bijvoorbeeld geen ophopingspunt, want voor $ϵ = \frac{1}{10}$ krijgen we de intervallen ⟨0,4; 0,5⟩ ∪ ⟨0,5; 0,6⟩, waarvan geen van beide een natuurlijk getal bevat.

Motivatie voor limieten

We beginnen met de gemakkelijkste definitie — een eindige limiet in een eigenlijk punt. Eerst laten we zien wat we eigenlijk willen berekenen. Kijk naar de volgende grafiek van de signumfunctie:

Grafiek van de functie sgn(x)

Als we het punt x₁ = 3 nemen, dan geldt dat de functiewaarde in dit punt 1 is. Er geldt sgn(3) = 1. Tegelijk geldt ook dat de functie in alle “nabije” omliggende punten functiewaarde 1 heeft, bijvoorbeeld sgn(2,5) = 1 of sgn(3,5) = 1. Als we het punt x₁ = 3 van links of van rechts naderen, zijn de functiewaarden steeds gelijk aan één.

Maar als we het punt x₂ = 0 nemen, geldt dat sgn(0) = 0, terwijl alle omliggende punten een andere functiewaarde hebben! Bijvoorbeeld $sgn (- \frac{1}{2}) = - 1$ of $sgn (\frac{1}{2}) = 1$ . De functiewaarden van rechts naderen de waarde 1, terwijl de functiewaarden van links de waarde −1 naderen. En uiteindelijk krijgen we in het punt x₂ = 0 de functiewaarde 0. Valkuil! Deze waarden die de functie in een gegeven punt nadert, noemen we dan de limieten van de functie in het punt.

Definitie van een eindige limiet in een eigenlijk punt

Stel dat f een functie is en x₀ ∈ ℝ een ophopingspunt van het domein van de functie f. Dan zeggen we dat L ∈ ℝ de limiet van de functie f in het punt x₀ is als

$(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall x \in D_{f}) (0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ) .$

En nu wat deze definitie betekent. Een eigenlijk punt betekent in dit geval dat het gegeven punt een reëel getal is. Later komen we te spreken over limieten in oneigenlijke punten, daarmee bedoelen we oneindig. We proberen deze limiet te berekenen:

$lim_{x \to 3} \frac{x}{3} = ? .$

Bij zulke eenvoudige functies geldt dat de limiet van de functie in het punt x₀ gelijk is aan de functiewaarde in dat punt: f(x₀). Later definiëren we precies wat een “eenvoudige functie” betekent. Nu tekenen we alles in een plaatje:

$Grafiek van de functie f(x)=\frac{x}{3}$

De zwarte lijn stelt de grafiek van de functie $f (x) = \frac{x}{3}$ voor, het rode punt x₀ is het punt waarin we de limiet zoeken en het groene punt L is de uiteindelijke limiet. Let op: de limiet geven we weer op de y-as.

We gaan verder volgens de definitie. Op de eerste plaats in de definitie staat (∀ϵ > 0) en later wordt ϵ gebruikt in |f(x) − L|<ϵ — dat is een wiskundige notatie voor het feit dat we willen dat alle f(x) minder dan ϵ van L af liggen. We zoeken dus de ϵ-omgeving van het punt L op de y-as. Volgens de definitie mogen we elke ϵ > 0 kiezen, we kiezen bijvoorbeeld $ϵ = \frac{3}{10}$ . We zoeken op de y-as de punten die precies ϵ van het punt L af liggen:

$Gemarkeerde \epsilon-omgeving van het punt L$

Alle punten op de y-as die tussen deze groene lijnen liggen, liggen in de ϵ-omgeving van het punt L. Dat zijn de punten waar de definitie over spreekt.

De definitie gaat verder met de uitdrukking (∃δ>0), die verderop wordt gebruikt in de uitdrukking 0<|x − x₀|<δ. We zeggen dat een verschil x − x₀ kleiner moet zijn dan δ. Omdat x, x₀ op de x-as liggen, geven we ook de waarde δ op de x-as weer. De uitdrukking 0<|x − x₀|<δ zegt ons weer dat we alle x moeten nemen die minder dan δ van x₀ af liggen, maar tegelijk meer dan nul, dus x ≠ x₀. Dat betekent dat deze notatie de gepuncteerde δ-omgeving van het punt x₀ aanduidt. De definitie van de limiet kunnen we dus equivalent herschrijven met omgevingen van punten:

$(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall x \in D_{f}) (x \in R (x_{0}, δ) \Rightarrow f (x) \in U (L, ϵ))$

We gaan terug naar de vorige definitie en gaan verder met het tekenen van het plaatje: om het weer te geven hebben we het volgende deel van de definitie nodig:

$0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ$

Dus voor alle x uit de gepuncteerde δ-omgeving van het punt x₀ moet … een of andere voorwaarde gelden. We voegen de gepuncteerde δ-omgeving van het punt x₀ toe aan het plaatje, bijvoorbeeld voor $δ = \frac{3}{2}$ :

$Gemarkeerde \delta-omgeving van het punt x_0$

Alle x die tussen de rode stippellijnen liggen, horen bij de δ-omgeving van x₀, behalve het punt x₀ zelf. We kijken opnieuw naar de voorgaande voorwaarde:

$0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ$

Voor alle x uit de gepuncteerde δ-omgeving van het punt x₀ moet gelden dat alle functiewaarden f(x) in de ϵ-omgeving van het punt L liggen. We nemen dus alle x uit de gepuncteerde δ-omgeving van het punt x₀ en berekenen de functiewaarden. Die functiewaarden zijn in het volgende plaatje weergegeven met een blauw lijnstuk:

$Functiewaarden uit de gepuncteerde \delta-omgeving van het punt x_0$

Het punt x₀ zit niet in de gepuncteerde omgeving, daarom staat er op die plek een open cirkeltje. De definitie zegt ons dat voor al deze blauwe punten moet gelden dat ze in de ϵ-omgeving van het punt L liggen. In de kleuren van het plaatje gezegd: alle blauwe punten moeten tussen de groene lijnen liggen, die de ϵ-omgeving weergeven. Klopt dat?

Natuurlijk niet, voor $x = \frac{16}{10}$ krijgen we bijvoorbeeld duidelijk een blauw punt dat niet tussen de groene lijnen ligt, dus niet in de ϵ-omgeving van het punt L.

Dat is niet erg, de definitie zegt ons dat er voor elke ϵ-omgeving van het punt L een δ-omgeving moet bestaan zodat … de rest van de voorwaarde. Dat betekent dat het genoeg is als er één zo'n δ-omgeving bestaat. $δ = \frac{3}{2}$ was kennelijk geen goede keuze, maar we kunnen een andere δ proberen, bijvoorbeeld $δ = \frac{1}{2}$ . Het plaatje verandert dan zo:

$Verandering van de \delta-omgeving$

We kijken weer of alle functiewaarden voor alle x uit de gepuncteerde δ-omgeving van het punt x₀ in de ϵ-omgeving van het punt L liggen. Kortom, of alle blauwe punten tussen de groene lijnen liggen. Ja, nu wel, hoera.

Betekent dat dat L de limiet van de functie in het punt x₀ is? Niet noodzakelijk, de definitie zegt namelijk (∀ϵ > 0) …. We hebben de definitie tot nu toe voor één bepaalde ϵ gecontroleerd, er zijn er nog … oneindig veel over.

Met andere woorden — om echt te kunnen zeggen dat $lim_{x \to 3} \frac{x}{3} = 1$ , moeten we voor elke ϵ-omgeving een δ-omgeving vinden zodat de voorgaande voorwaarde geldt. Uit het plaatje kunnen we zien dat we zo'n δ-omgeving altijd vinden: als we ϵ bijvoorbeeld verlagen tot $ϵ = \frac{1}{10}$ , dan kunnen we δ verlagen tot $δ = \frac{2}{10}$ en dan werkt het:

$Verandering van de \epsilon-omgeving en de daarmee samenhangende verandering van de \delta-omgeving$

Hoe klein we ϵ ook nemen, we moeten altijd een δ kunnen vinden zodat we de functiewaarden in de ϵ-omgeving van de limiet L van de functie krijgen.

Bewijs van een eindige limiet in een eigenlijk punt

We proberen de vorige limiet echt te bewijzen. Uit het plaatje weten we al dat waarschijnlijk

$lim_{x \to 3} \frac{x}{3} = 1,$

nu proberen we dat wiskundig te bewijzen. Uit het plaatje kunnen we afleiden dat het zou kunnen lukken als we voor δ steeds dezelfde waarde nemen als ϵ heeft. Dus stellen we δ = ϵ. Nu moeten we dus bewijzen

$L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{voor alle}\quad x \in \left\langlex_0-\delta, x_0\right\rangle\cup\left\langlex_0, x_0+\delta\right\rangle$

Omdat we δ = ϵ hebben gesteld, veranderen we alle δ in ϵ:

$L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{voor alle}\quad x \in \left\langlex_0-\epsilon, x_0\right\rangle\cup\left\langlex_0, x_0+\epsilon\right\rangle$

Voor L vullen we 1 in en voor x₀ vullen we 3 in:

$1 - ϵ < f (x) < 1 + ϵ, voor alle x \in ⟨ 3 - ϵ, 3 ⟩ \cup ⟨ 3, 3 + ϵ ⟩$

Nu moeten we alle ongelijkheden bewijzen. Omdat de functie $\frac{x}{3}$ strikt stijgend is, volstaat het de randpunten 3 − ϵ en 3 + ϵ te controleren. We beginnen met 3 − ϵ — we vullen in de functie $\frac{x}{3}$ de waarde 3 − ϵ in en laten zien dat deze waarde altijd aan de ongelijkheden 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ voldoet:

$\begin{array}{rcl} 1 - ϵ < & f (x) & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{x}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{3 - ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{3}{3} - \frac{ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & 1 - \frac{ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ - ϵ < & - \frac{ϵ}{3} & < ϵ \end{array}$

Hetzelfde met 3 + ϵ:

$\begin{array}{rcl} 1 - ϵ < & f (x) & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{x}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{3 + ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{3}{3} + \frac{ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & 1 + \frac{ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ - ϵ < & \frac{ϵ}{3} & < ϵ \end{array}$

Een verkeerd bepaalde limiet

Nu schetsen we nog wat er zou gebeuren als we dachten dat de limiet van de functie voor x naar drie de waarde een half heeft. We kiezen een kleine epsilon-omgeving:

Een verkeerd bepaalde limiet

En nu kunnen we geen delta-omgeving van het punt x₀ meer vinden waarvan alle functiewaarden tussen deze groene lijnen passen. We zien dat voor de gekozen δ-omgeving alle blauwe punten buiten de groene lijnen liggen. Als we de δ-omgeving vergroten, vergroten we alleen het aantal blauwe punten dat we niet tussen de groene lijnen krijgen.

Limiet van de signumfunctie

Signum is een prachtige functie die je waarschijnlijk in de war brengt. De grafiek volgt:

Grafiek van de functie f(x)=sgn(x)

De grafiek is niet helemaal duidelijk, dus een beschrijving in woorden: als x negatief is, is signum min één, als x positief is, is signum plus één en als x nul is, is signum ook nul. We passen de grafiek aan met de absolute waarde f(x) = |sgn(x)| en krijgen zo |sgn(0)| = 0, voor alle andere gevallen |sgn(x)| = 1. De grafiek:

Grafiek van de functie f(x)=|sgn(x)|

De vraag is: waaraan is deze limiet gelijk?

$lim_{x \to 0} | sgn (x) | = ?$

De functie is in het punt nul gedefinieerd en de functiewaarde is ook nul. Dat zegt ons echter niet dat de limiet ook nul is. De limiet kan verschillen van de functiewaarde in het gegeven punt.

De enige mogelijkheid om de limiet zo te kiezen dat de definitie klopt, is de limiet gelijk aan één te nemen. We kunnen ook op ons gevoel afgaan: waar gaat de functiewaarde naartoe als x van links naar nul gaat? Die gaat steeds naar één. Dat hij uiteindelijk naar nul springt, maakt niet uit. Op dezelfde manier voor x die van rechts naar nul gaat.

$lim_{x \to 0} | sgn (x) | = 1$

Als we de functie in de oorspronkelijke vorm laten, dus f(x) = sgn(x), dan heeft de functie in het punt nul geen limiet, maar twee verschillende eenzijdige limieten. Van links gaat de functie naar min één en van rechts naar plus één. Je kunt proberen dat met de definitie te bewijzen.

Limieten die niet bestaan

We laten nog een paar voorbeelden zien waarin limieten niet bestaan.

Het eenvoudigste voorbeeld van een limiet die niet bestaat, is de limiet berekenen in een punt dat geen ophopingspunt van D_f is. Zo bestaat bijvoorbeeld de volgende limiet niet:

$lim_{x \to - 1} \ln x$

De grafiek:

$Grafiek van de functie f(x)=\ln(x)$

Periodieke functies hebben vaak geen limiet in het oneindige (dat geldt niet voor alle!). Typische voorbeelden zijn goniometrische functies zoals de sinus. De grafiek volgt:

$Grafiek van de functie f(x)=\sin(x)$

De limiet in het oneindige bestaat gewoon niet, de waarde van de sinus schommelt steeds tussen één en min één, dus de limiet kan niet worden berekend.

Hoofdstukken: Limiet van een functie, Oneindige limiet in een eigenlijk punt, Eindige limiet in een oneigenlijk punt, Oneindige limiet in een oneigenlijk punt, Eenzijdige limiet, Regel van L'Hôpital

« Vorige: Limiet van een rij

Volgende: Oneindige limiet in een eigenlijk punt »