Grænseværdi af en funktion

Grænseværdi af en funktion er et af de vigtigste begreber i matematisk analyse. Den beskriver, hvordan en funktion opfører sig i nærheden af et bestemt punkt, og derfor kan vi for eksempel definere kontinuitet af en funktion. Grænseværdien hjælper os med at forstå en funktions opførsel også de steder, hvor den slet ikke er defineret.

Omegn af et punkt

Vi begynder med definitionen af epsilon-omegnen af et punkt i mængden af reelle tal. Lad r ∈ ℝ. Så siger vi, at epsilon-omegnen af dette punkt for ϵ > 0 er det åbne interval ]r − ϵ; r + ϵ[. Den punkterede epsilon-omegn er det samme, blot uden punktet r. Den punkterede omegn er ]r − ϵ; r[ ∪ ]r; r + ϵ[. Epsilon-omegnen af punktet a betegner vi U(a, ϵ), den punkterede omegn betegner vi R(a, ϵ).

Som eksempel tager vi tallet fem og dets 2-omegn. Vi beregner altså U(5, 2), som er intervallet ]5 − 2; 5 + 2[ = ]3; 7[. Den punkterede omegn ville være R(5, 2) = ]3; 5[ ∪ ]5; 7[. Det er den samme omegn, blot uden punktet fem. 2-omegnen af punktet 5 afbildet grafisk:

Den punkterede 2-omegn ville se ens ud, blot uden det blå punkt 5.

Ophobningspunkt

Dernæst skal vi kende definitionen af et ophobningspunkt for en mængde. Et element a ∈ ℝ er et ophobningspunkt for mængden M ⊆ ℝ, hvis der i enhver punkteret omegn af dette punkt, hvor lille det end er, ligger et punkt fra mængden M. Mere præcist:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Eksempler: Ethvert reelt tal er et ophobningspunkt for mængden af reelle tal. Hvis vi vælger tallet 10, finder vi i enhver punkteret omegn af dette punkt altid et reelt tal. For $ϵ=\frac{1}{100}$ får vi den punkterede omegn ]9,99; 10[ ∪ ]10; 10,01[. I begge intervaller ligger der et reelt tal — mere præcist ligger der uendeligt mange reelle tal. Så uanset hvor lille et ϵ vi tager, får vi altid intervaller, som indeholder uendeligt mange reelle tal.

Hvis vi valgte mængden af naturlige tal som M, ville vi ikke finde noget ophobningspunkt. For eksempel er tallet $\frac{1}{2}$ ikke et ophobningspunkt, fordi vi for $ϵ=\frac{1}{10}$ får intervallerne ]0,4; 0,5[ ∪ ]0,5; 0,6[, og ingen af intervallerne indeholder noget naturligt tal.

Motivation for grænseværdier

Vi begynder med den letteste definition — endelig grænseværdi i et endeligt punkt. Først viser vi, hvad det egentlig er, vi vil beregne. Se på den følgende graf for signumfunktionen:

Hvis vi tager punktet x₁ = 3, så er funktionsværdien i dette punkt 1. Der gælder sgn(3) = 1. Samtidig gælder det også, at funktionen har funktionsværdien 1 i alle punkter »tæt på«, for eksempel sgn(2,5) = 1 eller sgn(3,5) = 1. Hvis vi nærmer os punktet x₁ = 3 fra venstre eller fra højre, er funktionsværdierne altid lig med en.

Men hvis vi tager punktet x₂ = 0, så gælder sgn(0) = 0, selv om alle punkter omkring det har en anden funktionsværdi! For eksempel $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ eller $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Funktionsværdierne fra højre nærmer sig værdien 1, mens funktionsværdierne fra venstre nærmer sig værdien −1. Og til sidst får vi i punktet x₂ = 0 funktionsværdien 0. Pas på! Disse værdier, som funktionen nærmer sig i det givne punkt, kalder vi funktionens grænseværdier i punktet.

Definition af endelig grænseværdi i et endeligt punkt

Lad f være en funktion, og lad x₀ ∈ ℝ være et ophobningspunkt for definitionsmængden for funktionen f. Så siger vi, at L ∈ ℝ er grænseværdien af funktionen f i punktet x₀, hvis

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Og nu til, hvad denne definition betyder. Et endeligt punkt betyder i dette tilfælde, at punktet er et reelt tal. Senere kommer vi til grænseværdier i uendelige punkter, som vil sige uendelig. Vi prøver at beregne denne grænseværdi:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

For så simple funktioner gælder det, at grænseværdien af funktionen i punktet x₀ er lig med funktionsværdien i dette punkt: f(x₀). Senere definerer vi præcist, hvad en »simpel funktion« betyder. Nu tegner vi det hele ind på en figur:

Den sorte linje viser grafen for funktionen $f(x)=\frac{x}{3}$, det røde punkt x₀ er det punkt, hvor vi søger grænseværdien, og det grønne punkt L er den resulterende grænseværdi. Bemærk, at vi afsætter grænseværdien på y-aksen.

Vi fortsætter efter definitionen. Først i definitionen står (∀ϵ > 0), og senere bruges ϵ i |f(x) − L|<ϵ — det er en matematisk skrivemåde for, at vi vil have alle f(x) til at ligge i en afstand fra L, der er mindre end ϵ. Vi søger altså ϵ-omegnen af punktet L på y-aksen. Ifølge definitionen kan vi vælge et vilkårligt ϵ > 0, vi vælger for eksempel $ϵ=\frac{3}{10}$. Vi finder på y-aksen de punkter, som ligger i afstanden præcis ϵ fra punktet L:

Alle punkter på y-aksen, som ligger mellem disse grønne streger, ligger i ϵ-omegnen af punktet L. Det er de punkter, definitionen taler om.

Definitionen fortsætter med udtrykket (∃δ>0), som senere bruges i udtrykket 0<|x − x₀|<δ. Vi siger, at en forskel x − x₀ skal være mindre end δ. Fordi x, x₀ ligger på x-aksen, afbilder vi også værdien af δ på x-aksen. Udtrykket 0<|x − x₀|<δ siger os igen, at vi skal tage alle de x, der ligger i en afstand fra x₀, som er mindre end δ, men samtidig større end nul, dvs. x ≠ x₀. Det betyder, at denne skrivemåde angiver den punkterede δ-omegn af punktet x₀. Definitionen af grænseværdi kan vi derfor ækvivalent omskrive ved hjælp af omegne af punkter:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in \mathrm{Dm}(f))(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Vi vender tilbage til den foregående definition og fortsætter med at tegne figuren: For at kunne afbilde det har vi brug for den næste del af definitionen:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

For alle x fra den punkterede δ-omegn af punktet x₀ skal der altså gælde… en eller anden betingelse. Vi tegner den punkterede δ-omegn af punktet x₀ ind på figuren, for eksempel for $\delta =\frac{3}{2}$:

Alle de x, som ligger mellem de røde stiplede streger, hører til δ-omegnen af x₀, bortset fra selve punktet x₀. Vi ser igen på den foregående betingelse:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

For alle x fra den punkterede δ-omegn af punktet x₀ skal der gælde, at alle funktionsværdier f(x) ligger i ϵ-omegnen af punktet L. Vi tager derfor alle x fra den punkterede δ-omegn af punktet x₀ og beregner funktionsværdierne. Disse funktionsværdier er på den følgende figur vist som et blåt linjestykke:

Punktet x₀ ligger ikke i den punkterede omegn, derfor er der en lille cirkel på det sted. Definitionen siger os, at for alle disse blå punkter skal der gælde, at de ligger i ϵ-omegnen af punktet L. Sagt med figurens farver: alle blå punkter skal ligge mellem de grønne streger, som viser ϵ-omegnen. Gælder det?

Selvfølgelig gælder det ikke, for eksempel for $x=\frac{16}{10}$ får vi tydeligvis et blåt punkt, som ikke ligger mellem de grønne streger, dvs. ikke ligger i ϵ-omegnen af punktet L.

Det gør ikke noget, for definitionen siger os, at der for hver ϵ-omegn af punktet L skal findes en δ-omegn, så … resten af betingelsen. Det betyder, at det er nok, at der findes én sådan δ-omegn. $\delta =\frac{3}{2}$ var åbenbart ikke et godt valg, men vi kan prøve et andet δ, for eksempel $\delta =\frac{1}{2}$. Figuren ville ændre sig sådan her:

Igen ser vi på, om alle funktionsværdier for alle x fra den punkterede δ-omegn af punktet x₀ ligger i ϵ-omegnen af punktet L. Kort sagt om alle de blå punkter ligger mellem de grønne streger. Ja, nu gør de, hurra.

Betyder det, at L er grænseværdien af funktionen i punktet x₀? Ikke nødvendigvis, for definitionen siger nemlig (∀ϵ > 0) …. Vi har indtil nu kun kontrolleret definitionen for ét bestemt ϵ, og der er … uendeligt mange tilbage.

Med andre ord — for at det virkelig kan gælde, at $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, skulle vi for hver ϵ-omegn finde en δ-omegn, så den foregående betingelse gælder. Af figuren kan vi se, at en sådan δ-omegn altid findes, for eksempel hvis vi sænker ϵ til $ϵ=\frac{1}{10}$, kan vi sænke δ til $\delta =\frac{2}{10}$, og det vil virke:

Uanset hvor lille et ϵ vi tager, skal vi altid kunne finde et δ, så vi kan få funktionsværdierne ind i ϵ-omegnen af funktionens grænseværdi L.

Bevis for endelig grænseværdi i et endeligt punkt

Vi prøver nu for alvor at bevise den foregående grænseværdi. Af figuren ved vi allerede, at

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

nu prøver vi at bevise det matematisk. Af figuren kan vi udlede, at hvis vi altid tager for δ den samme værdi som ϵ, kunne det måske gå op. Lad os altså sætte δ = ϵ. Nu skal vi derfor bevise

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{for alle}x\in ]x_0-\delta ;x_0[\cup ]x_0;x_0+\delta [$$

Fordi vi har sat δ = ϵ, ændrer vi alle δ til ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{for alle}x\in ]x_0-ϵ;x_0[\cup ]x_0;x_0+ϵ[$$

For L indsætter vi 1 og for x₀ indsætter vi 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{for alle}x\in ]3-ϵ;3[\cup ]3;3+ϵ[$$

Nu skal vi bevise alle ulighederne. Fordi funktionen $\frac{x}{3}$ er strengt voksende, er det nok at kontrollere endepunkterne 3 − ϵ og 3 + ϵ. Vi begynder med 3 − ϵ — vi indsætter værdien 3 − ϵ i funktionen $\frac{x}{3}$ og viser, at denne værdi altid opfylder ulighederne 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Det samme med 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Forkert bestemt grænseværdi

Nu skitserer vi, hvad der ville ske, hvis vi troede, at grænseværdien af funktionen for x gående mod tre er en halv. Vi vælger en lille epsilon-omegn:

Og nu kan vi ikke længere finde en delta-omegn af punktet x₀, hvis funktionsværdier alle ville kunne være inden for disse grønne streger. Vi ser, at for det valgte δ-omegn ligger alle blå punkter uden for de grønne streger. Hvis vi gjorde δ-omegnen større, ville vi blot øge antallet af blå punkter, som vi ikke får ind mellem de grønne streger.

Grænseværdi af signum

Signum er en dejlig funktion, som nok vil få det til at snurre rundt i hovedet på dig. Grafen følger:

Grafen er ikke helt tydelig, så her er en beskrivelse i ord: Hvis x er negativt, er signum minus en, hvis det er positivt, er signum plus en, og hvis x er nul, er signum også nul. Vi ændrer grafen ved hjælp af numerisk værdi, f(x) = |sgn(x)|, og får dermed |sgn(0)| = 0, mens |sgn(x)| = 1 i alle andre tilfælde. Grafen:

Spørgsmålet lyder, hvad denne grænseværdi er lig med?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

Funktionen er defineret i punktet nul, og funktionsværdien er også lig med nul. Det fortæller os dog ikke, at grænseværdien også er lig med nul. Grænseværdien kan være forskellig fra funktionsværdien i det givne punkt.

Den eneste mulighed for at vælge grænseværdien, så definitionen passer, er at vælge grænseværdien lig med en. Vi kan også bruge vores intuition: Hvad nærmer funktionsværdien sig, når x nærmer sig nul fra venstre? Den nærmer sig hele tiden en. At den til sidst springer til nul, gør ikke noget. Tilsvarende for x gående mod nul fra højre.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Hvis vi lod funktionen blive i den oprindelige form, dvs. f(x) = sgn(x), så ville funktionen ikke have nogen grænseværdi i punktet nul, men to forskellige ensidede grænseværdier. Fra venstre nærmer funktionen sig minus en og fra højre plus en. Du kan prøve at bevise det ud fra definitionen.

Grænseværdier, der ikke findes

Vi viser endnu nogle eksempler på, at grænseværdier ikke findes.

Det simpleste eksempel på, at en grænseværdi ikke findes, er at beregne grænseværdien i et punkt, som ikke er et ophobningspunkt for Dm(f). For eksempel findes denne grænseværdi ikke:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Grafen:

Periodiske funktioner har ofte ikke nogen grænseværdi i det uendelige (det gælder ikke for alle!). Typisk de trigonometriske funktioner som for eksempel sinus. Grafen følger:

Grænseværdien i det uendelige findes simpelthen ikke, værdien af sinus svinger hele tiden mellem en og minus en, så grænseværdien kan ikke beregnes.