Verzamelingen

Een verzameling kun je zien als een collectie van elementen. Elke verzameling bevat dus een bepaald aantal elementen, dat eindig of oneindig kan zijn. Een verzameling hoeft ook helemaal geen element te bevatten: dan spreken we van de lege verzameling. Een verzameling noteren we meestal met een hoofdletter, bijvoorbeeld M, en de elementen van de verzameling met een kleine letter m.

Wat is een verzameling

De verzameling is een van de basisbegrippen in de wiskunde. Een heleboel andere dingen worden ermee gedefinieerd. Het is dus goed om meteen aan het begin duidelijk te hebben wat een verzameling is, zodat je later bij het leren niet in het duister tast.

Een verzameling is dus een collectie van willekeurige elementen. In de wiskunde werken we meestal met getallenverzamelingen, dat zijn verzamelingen waarvan de elementen getallen zijn. De gebruikelijke wiskundige notatie van een verzameling is:

$$M=\{1,2,3\}$$

Hiermee hebben we een verzameling met de naam “M” beschreven, die drie elementen bevat: de één, de twee en de drie. Verzamelingen schrijven we altijd tussen accolades. Als je accolades ziet, gaat het vrijwel altijd om een verzameling.

Waar kunnen we verzamelingen voor gebruiken? Vaak bepalen ze welke elementen we mogen kiezen. In het dagelijks leven zou je bijvoorbeeld kunnen zeggen: “Sophie, zullen we een spelletje doen? Denk aan een getal van één tot en met vijf.” Daarmee heb je voor Sophie een groep getallen afgebakend waaruit ze mag kiezen. In de wiskunde zou je daarvoor een verzameling gebruiken:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

En dan zou je tegen Sophie kunnen zeggen: “Sophie, zullen we een spelletje doen? Denk aan een getal dat in de verzameling L zit.” Dat spelletje zou meteen een stuk leuker zijn. Om op te schrijven dat een element bij een verzameling hoort, gebruiken we in de wiskunde het teken ∈, en als het er niet bij hoort, gebruiken we ∉. Als we willen zeggen dat de één in de verzameling L zit, maar de zeven niet, schrijven we: 1 ∈ L en 7 ∉ L.

Een verzameling kan natuurlijk ook leeg zijn. Daarvoor schrijven we P = {} of eenvoudiger P = ∅. Pas op: beide notaties betekenen “lege verzameling”. Als je P = {∅} opschrijft, dan noteer je een verzameling die de lege verzameling als element bevat. Dat is niet hetzelfde als de lege verzameling.

Ongeordendheid en dubbele elementen

Van een verzameling zeggen we niet dat de elementen in een bepaalde volgorde staan. Een verzameling bevat een ongeordende collectie van elementen. Als we twee verzamelingen A = {1, 2, 3} en B = {3, 2, 1} hebben, zeggen we dat ze gelijk zijn. De volgorde van de elementen in een verzameling doet er gewoon niet toe.

Dubbele elementen interesseren ons ook niet. Als een verzameling meerdere keren hetzelfde element (hetzelfde getal) bevat, tellen we elk element maar één keer mee. Als we dus deze twee verzamelingen hebben, A = {1, 1, 2, 2, 2} en B = {2, 1}, beschouwen we ze als gelijk. Het maakt niet uit dat verzameling A “meer” elementen bevat omdat er elementen dubbel of driedubbel in staan. Bij het rekenen met verzamelingen laten we die dubbele elementen gewoon weg.

Grootte en gelijkheid

We kunnen het begrip grootte van een verzameling definiëren: dat is het aantal elementen in de verzameling. In het vorige voorbeeld, A = {1, 1, 2, 2, 2} en B = {2, 1}, is de grootte van verzameling A gelijk aan twee, en de grootte van verzameling B is ook twee, want ook bij het tellen van de elementen van een verzameling negeren we dubbele elementen. De grootte van een verzameling noteren we tussen verticale strepen: |A| = |B| = 2.

Je hebt vast al begrepen dat twee verzamelingen gelijk zijn als ze dezelfde elementen hebben. Een paar voorbeelden:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Een belangrijke eigenschap is dat een verzameling zelf weer een verzameling als element kan hebben. Een voorbeeld: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Het is belangrijk om te beseffen dat verzameling C drie elementen heeft, niet zes. Verzameling C bevat drie elementen: de één, de twee en een verzameling. De elementen 3, 4, 5 en 6 zitten in de binnenste verzameling, niet in verzameling C. Er geldt dus |C| = 3. Een ingewikkelder voorbeeld:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Hoeveel elementen bevat verzameling D? Ze bevat drie elementen, namelijk deze:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Een verzameling kan eindig of oneindig zijn. Alle verzamelingen die we tot nu toe hebben genoemd, zijn eindig. Oneindig is bijvoorbeeld de verzameling van alle getallen.

Deelverzameling

Neem twee verzamelingen A = {1, 2} en B = {1, 2, 3}. Deze verzamelingen zijn verschillend, want ze bevatten niet dezelfde elementen: verzameling B is groter. Je hebt vast wel gezien dat verzameling B precies dezelfde elementen bevat als verzameling A, alleen heeft B er het element 3 bij. Dan kunnen we zeggen dat A een deelverzameling van B is.

Als A een deelverzameling van B is, moet gelden dat alle elementen van verzameling A ook in verzameling B zitten. Deelverzameling zijn is een relatie en die noteren we met het symbool ⊆. De formele definitie:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Meestal gaan we ervan uit dat de verzamelingen A en B gelijk mogen zijn, en dan geldt nog steeds A ⊆ B. Als we de strikte variant van de deelverzameling willen uitdrukken, gebruiken we een ander symbool: ⊂. Als A ⊂ B, dan moet verzameling B groter zijn (als ze eindig is): ze moet een element bevatten dat verzameling A niet bevat. Zo'n verzameling noemen we een “echte deelverzameling”. Als A ⊂ B, is A dus een echte deelverzameling van B. De definitie van een echte deelverzameling:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

De definitie is dezelfde als bij een gewone deelverzameling, alleen mogen beide verzamelingen niet gelijk zijn. Enkele voorbeelden:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Eigenschappen van de deelverzameling:

• A ⊆ A: een verzameling is altijd een deelverzameling van zichzelf.
• A ⊄ A: een verzameling is nooit een echte deelverzameling van zichzelf.
• ∅ ⊆ A: de lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling.
• A ⊄ ∅: de lege verzameling heeft geen enkele echte deelverzameling.

Met deelverzamelingen kunnen we de gelijkheid van verzamelingen opschrijven:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Als beide verzamelingen gelijk zijn, is de ene een deelverzameling van de andere.

Een deelverzameling noemen we ook wel een “inclusie”.

Machtsverzameling

De machtsverzameling is de verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling. Die noteren we meestal als P(M) of 2^M.

Een voorbeeld: M = {1, 2, 3}. Wat zijn alle deelverzamelingen? Zeker de lege deelverzameling en de verzameling M zelf. Verder: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Al deze verzamelingen samen vormen de machtsverzameling van M. We schrijven: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Omdat de lege verzameling een deelverzameling van elke verzameling is en M altijd een deelverzameling van M is, geldt altijd dat ∅ ∈ P(M) en M ∈ P(M).

Hoe schrijf je een verzameling op

Een manier hebben we al genoemd: gewoon de elementen opsommen. Daarvoor gebruiken we accolades. M = {1, 2, 3} of N = {a, b, c, d} enzovoort. Als we een oneindige verzameling opschrijven, mogen we drie puntjes gebruiken, als duidelijk is hoe de rij elementen doorgaat: M = {1, 2, 3, …}

De belangrijkste manier om een verzameling op te schrijven is met een karakteristieke eigenschap van de verzameling. In het algemeen ziet die notatie er zo uit: {x ∈ X | P(x)}, waarbij X de verzameling is waaruit we elementen kiezen en P(x) een formule is die de elementen van de verzameling vastlegt. De formule kan puur wiskundig of in woorden zijn opgeschreven. In plaats van “|” wordt ook wel een puntkomma gebruikt: “;”.

Neem bijvoorbeeld: “laat verzameling M alle getallen bevatten die een dag van de maand aangeven”. Een maand heeft hooguit 31 dagen, dus zo'n verzameling heeft 31 elementen, van 1 tot 31. We kunnen haar met puntjes zo opschrijven: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Een andere notatie van dezelfde verzameling is: {x ∈ ℤ | x is een dag van de maand}, waarbij ℤ de verzameling van de gehele getallen aangeeft.

Een meer wiskundig voorbeeld is: “laat verzameling P alle positieve getallen bevatten die deelbaar zijn door vijf”. Die verzameling ziet er dan zo uit: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

We proberen de verzameling T van de natuurlijke getallen die kleiner zijn dan tien wiskundig op te schrijven: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Deze notatie zegt: verzameling T bestaat uit de elementen x die we nemen uit de verzameling van de natuurlijke getallen en die voldoen aan de voorwaarde dat ze kleiner zijn dan 10. We kijken dus naar de natuurlijke getallen en houden alleen de getallen over die kleiner zijn dan tien: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dat is alles.

Nog een voorbeeld: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. We hebben een verzameling Y gedefinieerd die de elementen x bevat die we uit de gehele getallen nemen, en de enige voorwaarde waaraan x moet voldoen is dat het niet nul mag zijn. Verzameling Y bevat dus alle gehele getallen behalve nul.

Nog een voorbeeld: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Verzameling G bevat de elementen x die we uit de reële getallen nemen, en voor al deze elementen x moet gelden dat we weer het getal x krijgen als we het met zichzelf vermenigvuldigen. We kunnen bijvoorbeeld het getal 5 proberen. Volgens de definitie moet dan gelden: 5 · 5 = 5. Dat klopt duidelijk niet, dus het getal 5 is geen element van verzameling G. We proberen de één: 1 · 1 = 1. Daarvoor klopt het overduidelijk, dus de één is een element van verzameling G. Het tweede en tegelijk laatste element is het getal nul. Voor geen enkel ander getal klopt het nog. We kunnen dus schrijven: G = {0, 1}.

En een laatste voorbeeld. Ik schrijf iets ingewikkelders op, zodat je ziet dat de karakteristieke eigenschap ook ingewikkeld kan zijn:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

In de praktijk wordt een verzameling het vaakst gedefinieerd met een karakteristieke eigenschap, en je kunt wel zeggen dat een flink deel van de begrippen in de wiskunde met verzamelingen wordt gedefinieerd. Neem bijvoorbeeld een interval: we kunnen zeggen dat het interval ⟨a, b⟩ de verzameling I is waarvoor geldt:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Het zijn alle elementen uit de verzameling van de reële getallen die groter zijn dan a en kleiner dan b, en dat is precies wat een interval uitdrukt.

Meer informatie

• Wikipedia