Oplossingen verdunnen en mengen

Een oplossing ontstaat wanneer we bijvoorbeeld ethanol in water oplossen. We krijgen een homogeen mengsel dat bestaat uit een opgeloste stof (ethanol) en een oplosmiddel (water). Meestal bedoelen we met een oplossing een oplossing in vloeibare toestand, maar in het algemeen kunnen we ook een oplossing van twee vaste stoffen hebben, bijvoorbeeld de legering brons.

Concentratie van een oplossing

De concentratie vertelt ons hoeveel opgeloste stof er in de oplossing zit. Er zijn verschillende manieren om de concentratie aan te geven:

• Massapercentage: hoeveel gram opgeloste stof er in 100 g oplossing zit.
• Volumepercentage: hoeveel milliliter opgeloste stof er in 100 ml oplossing zit.
• Procentuele concentratie: hoeveel procent opgeloste stof er in de oplossing zit. We kunnen bijvoorbeeld een 40%-oplossing hebben, wat betekent dat er 40 ml stof op 100 ml oplossing zit.

Welke concentratie zou een oplossing van water en ethanol hebben als we 500 ml van deze oplossing hadden, waarvan 150 ml ethanol is? Om het volumepercentage te krijgen, moeten we weten hoeveel ml er in 100 ml zit. Maar we weten hoeveel ml er in een halve liter zit. We kunnen een verhoudingstabel gebruiken. Eerst berekenen we hoeveel ethanol er in 1 ml oplossing zou zitten, en dat doen we door de hoeveelheid ethanol door 500 te delen:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

Als we de hoeveelheid ethanol in 1 ml weten, vinden we de hoeveelheid in 100 ml door deze hoeveelheid met 100 te vermenigvuldigen:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

De oplossing heeft dus een concentratie van 30 ml ethanol op 100 ml. Het is dus een 30%-oplossing.

Het mengprobleem

Met een mengvergelijking kunnen we de concentratie berekenen van een oplossing die we krijgen door twee verschillende oplossingen te mengen. Stel dat we twee oplossingen hebben:

1. een oplossing van 500 ml die 30% ethanol bevat,
2. een oplossing van 400 ml die 20% ethanol bevat.

Welke concentratie krijgen we als we deze oplossingen mengen? We noemen V₁ = 500 het volume van de eerste oplossing, V₂ = 400 het volume van de tweede oplossing en V = V₁ + V₂ het volume van de resulterende oplossing.

Verder hebben we de zogenoemde volumefractie nodig, dat is gewoon de concentratie in procenten omgezet in de vorm van een breuk. De eerste oplossing met een concentratie van 30% heeft dus volumefractie $c_1=\frac{30}{100}$ en de tweede oplossing met een concentratie van 20% heeft volumefractie $c_2=\frac{20}{100}$. (Als we met grammen in plaats van liters zouden werken, hadden we massafracties, het principe zou hetzelfde zijn.) De resulterende oplossing heeft volumefractie c. Nu kunnen we de mengvergelijking opschrijven:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

In deze vergelijking is de enige onbekende de resulterende concentratie c. Alle waarden links van het isgelijkteken kennen we uit de opgave en het resulterende volume V kennen we ook, dat is gewoon de som van de volumes V₁ en V₂:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

We vullen de concrete waarden in voor alle variabelen:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

Aan de linkerkant berekenen we nu de producten van de breuken en aan de rechterkant tellen we alleen de volumes op:

$$150+80=c\cdot 900$$

Nu delen we de hele vergelijking door 900, zodat aan de rechterkant alleen de uiteindelijke concentratie c overblijft:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

We tellen de teller op en verwisselen gewoon de linker- en rechterkant van de mengvergelijking (meestal willen we de onbekende links hebben):

$$c=\frac{230}{900}$$

Dat is onze resulterende volumefractie. Als we de verhouding willen krijgen, berekenen we 230 gedeeld door 900:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

De uitdrukking in procenten krijgen we door deze verhouding met 100 te vermenigvuldigen, waardoor we ongeveer 25,6% krijgen. De resulterende oplossing heeft dus een concentratie van ongeveer 25,6%, oftewel ongeveer 25,6 ml ethanol op 100 ml.

Waarmee verdunnen we om de gewenste oplossing te krijgen?

Soms moeten we ook een iets andere vraag beantwoorden. Stel dat we weer een oplossing van 500 ml hebben die 30% ethanol bevat en een tweede oplossing die 55% ethanol bevat. Hoeveel ml van de tweede oplossing moeten we met de eerste mengen om een 40%-oplossing te krijgen? We gebruiken weer de mengvergelijking

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

De enige onbekende is nu V₂, al het andere kennen we. In tegenstelling tot het vorige geval kennen we namelijk $c=\frac{40}{100}$, omdat we weten welke oplossing we willen krijgen. We vullen de bekende waarden in de mengvergelijking in:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

We vermenigvuldigen de hele vergelijking met 100:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

We berekenen het product aan de linkerkant en werken de haakjes aan de rechterkant uit:

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

We trekken 15 000 van beide kanten van de vergelijking af:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

We trekken 40 · V₂ van beide kanten van de vergelijking af:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

We tellen op en trekken af wat we kunnen:

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

We rekenen de rechterkant uit:

$$15\cdot V_2=5000$$

We delen beide kanten van de vergelijking door 15:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

We moeten dus ongeveer 333 ml (een derde liter) van de tweede 55%-oplossing erbij gieten om een oplossing met een concentratie van 40% te krijgen. We kunnen controleren of we goed hebben gerekend. De eerste oplossing van 500 ml bevatte 30% ethanol, wat betekent dat ze 150 ml ethanol bevatte. Als we 333 ml van de tweede 55%-oplossing toevoegen, bevat die 183 ml ethanol. Uiteindelijk hebben we dus een oplossing met een volume van 500 ml + 333 ml, dat is 833 ml, die 150 ml + 183 ml bevat, dat is 333 ml ethanol. Als we de verhouding berekenen

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

krijgen we (na afronden) een 40%-oplossing van ethanol en water.