✖

Zijn er meer even of oneven getallen?

Wat denk je, van welke getallen zijn er meer? Even of oneven? Of zijn het er evenveel? Hoe zouden we dat kunnen beoordelen? En hoe zit het met andere getallen? Zijn er meer even getallen of natuurlijke getallen (1, 2, 3, …)? Meer natuurlijke getallen of rationale getallen? Het is niet helemaal eenvoudig, want van alle genoemde getallen zijn er oneindig veel. Toch kunnen we ze vergelijken en bepalen van welke getallen er meer zijn en van welke minder.

Laten we het eerst laten zien aan een kleine verzameling getallen. Stel je twee verzamelingen getallen voor: blauwe getallen en rode getallen:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Kunnen we op de een of andere manier zeggen van welke getallen er meer zijn? Rode of blauwe? We zien duidelijk dat… Wat? Ben je kleurenblind en zie je het niet duidelijk? Goed dan, vanaf nu laten we de rode getallen ook nog als vierkantjes zien:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Mooi, nu zien we duidelijk dat er meer blauwe dan rode getallen zijn. Dat was makkelijk, want we hebben met eindige verzamelingen getallen te maken en kunnen ze dus tellen. We zien dat we zes blauwe getallen hebben en maar drie rode. Oneindige verzamelingen zijn niet zo eenvoudig, want die kunnen we niet tellen. Laten we daarom de vraag uit de titel beantwoorden: zijn er meer even of oneven getallen? Laten we het voor het gemak bij de positieve getallen houden. Stel je een zak vol van alle oneven en een zak vol van alle even getallen voor. Welke zak is groter?

1
3
5
7
9
11
13
15
…
2
4
6
8
10
12
14
16
…

Tja, je oneindig veel getallen voorstellen is niet bepaald makkelijk en ze tellen is nog moeilijker. Is er geen andere manier om de groottes van verzamelingen te vergelijken?

Twee eindige verzamelingen vergelijken

Stel je voor dat we een zak vol bruidegoms en een zak vol bruiden hebben. Als we voor elke bruidegom één bruid hebben en voor elke bruid één bruidegom, kunnen we zeggen dat we evenveel bruidegoms als bruiden hebben:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Zie je het? Elke bruid uit de eerste rij heeft haar eigen bruidegom uit de tweede rij en andersom: elke bruidegom heeft zijn eigen bruid. Het kan ook anders gaan: elke bruid heeft een bruidegom, maar niet elke bruidegom heeft een bruid:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Elke bruid heeft een bruidegom, maar één bruidegom blijft er zonder bruid over en moet als vrijgezel naar huis. Als er op deze manier één bruidegom te veel is, kunnen we zeggen dat we meer bruidegoms dan bruiden hebben. Op dezelfde manier geldt: als er één bruid te veel is,

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

dan kunnen we zeggen dat we meer bruiden dan bruidegoms hebben.

Twee oneindige verzamelingen vergelijken

Kunnen we deze aanpak ook gebruiken om twee oneindige verzamelingen te vergelijken? Kunnen we elk oneven getal koppelen aan een even getal en elk even getal aan een oneven getal, zonder dat we een getal vaker dan één keer gebruiken? Dat kan! Elk oneven getal n kunnen we koppelen aan het even getal n + 1. Het getal 5 koppelen we dus aan 5 + 1, het getal 149 aan 150, enzovoort. De volgende animatie laat de koppeling zien:

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Bij elk oneven rood getal hebben we een bijbehorend uniek blauw even getal en bij elk even blauw getal een bijbehorend uniek rood oneven getal. Het is ons gelukt om alle oneven getallen aan alle even getallen te koppelen. En dat betekent dat er evenveel even als oneven getallen zijn!

Nou ja, dat was niet echt verrassend, toch? Laten we andere verzamelingen getallen vergelijken: alle natuurlijke getallen tegenover de even getallen. Hier wordt de uitkomst een stuk schokkender.

Zijn er meer natuurlijke of even getallen?

Van welke getallen zijn er meer? Natuurlijke of even?

1
2
3
4
5
6
7
8
…
 
2
 
4
 
6
 
8
…

We zien duidelijk dat de natuurlijke getallen alle even getallen bevatten. En daarnaast bevatten de natuurlijke getallen nog extra getallen, namelijk de oneven getallen. Het is dus duidelijk dat er meer natuurlijke getallen moeten zijn: ze bevatten immers twee keer zoveel getallen!

Ja, was het leven maar zo eenvoudig!

Het maakt ons helemaal niet uit of de ene verzameling getallen extra getallen bevat. We willen weten of we de getallen uit twee verschillende verzamelingen aan elkaar kunnen koppelen. Kunnen we elk even getal koppelen aan een natuurlijk getal, ook al zijn er meer natuurlijke getallen? Jazeker, dat kan.

Elk natuurlijk getal p kunnen we eenvoudig koppelen aan het even getal 2 · p en omgekeerd: elk even getal n koppelen we aan het natuurlijke getal n / 2. Het natuurlijke getal 5 koppelen we dus aan het even getal 10 en het even getal 14 aan het natuurlijke getal 7, enzovoort. De koppeling voor de eerste paar getallen zie je in de volgende animatie:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Ineens hebben we bij elk natuurlijk getal een uniek even getal en bij elk even getal een uniek natuurlijk getal! Wat maakt het uit dat er meer natuurlijke getallen zijn? Van beide soorten zijn er oneindig veel en ze raken nooit op. Vanuit ons oogpunt is de verzameling van de even getallen dus even groot als de verzameling van de natuurlijke getallen! 😱

Het is een beetje tegen je gevoel in, maar het is wel zo.

Zijn er meer natuurlijke of rationale getallen?

Rationale getallen zijn breuken. Alle getallen die je kunt schrijven als p/q, waarbij p en q gehele getallen zijn en q ≠ 0, zijn rationale getallen. Bijvoorbeeld ½, ¾ en 8 zijn rationale getallen, maar π is geen rationaal getal. Er zijn veel meer rationale getallen dan natuurlijke getallen. Tussen de getallen 2 en 4 ligt bijvoorbeeld maar één geheel getal, namelijk 3, maar oneindig veel rationale getallen. Ook tussen 0,001 en 0,002 liggen oneindig veel rationale getallen. Zoveel rationale getallen zijn er!

Je zou dus verwachten dat de verzameling van de rationale getallen groter moet zijn dan de verzameling van de natuurlijke getallen. Maar tegelijk voelen we allemaal wel aan dat er een addertje onder het gras zit. Goed, laten we proberen de rationale getallen te koppelen aan de natuurlijke getallen. We beginnen met de rationale getallen in een tabel te schrijven:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

Het patroon moet duidelijk zijn: alle breuken in de eerste rij hebben een 1 in de teller (boven de breukstreep) en in de noemer achtereenvolgens de getallen 1, 2, 3 enzovoort. In de kolom is het juist andersom. Als we tot in het oneindige doorgingen, zouden alle bestaande breuken in deze tabel staan. De breuk 1478/517 staat bijvoorbeeld in rij 1478 en kolom 517. Laten we nu onze koppelingsfunctie maken. Dat zouden we zo kunnen doen:

  • Het natuurlijke getal 1 koppelen we aan de eerste breuk in de eerste rij, dus aan 1/1
  • Het natuurlijke getal 2 koppelen we aan de tweede breuk in de eerste rij, dus aan 1/2
  • Het natuurlijke getal 3 koppelen we aan de derde breuk in de eerste rij, dus aan 1/3
  • Het natuurlijke getal 4 koppelen we aan de vierde breuk in de eerste rij, dus aan 1/4
  • …

Is het ons zo gelukt om alle natuurlijke getallen te koppelen? Ja. Elk natuurlijk getal heeft zijn tegenhanger. Het natuurlijke getal 174 heeft als tegenhanger de breuk 1/174. Maar geldt dat ook andersom? Heeft elke breuk een tegenhanger in de natuurlijke getallen? Welke tegenhanger heeft de breuk 2/3? Geen, want met onze koppelingsfunctie komen we nooit in de tweede rij. We hebben alleen de eerste rij breuken gekoppeld.

Betekent dit dat er meer rationale dan natuurlijke getallen zijn? Helaas niet: het feit dat één koppelingsstrategie niet werkt, wil niet zeggen dat een andere ook niet werkt. Laten we het deze keer langs de diagonalen doen:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6
  • Het natuurlijke getal 1 koppelen we aan de breuk 1/1 (eerste diagonaal),
  • het natuurlijke getal 2 koppelen we aan de breuk 1/2 (tweede diagonaal),
  • het natuurlijke getal 3 koppelen we aan de breuk 2/1 (tweede diagonaal),
  • het natuurlijke getal 4 koppelen we aan de breuk 1/3 (derde diagonaal),
  • het natuurlijke getal 5 koppelen we aan de breuk 2/2 (derde diagonaal),
  • het natuurlijke getal 6 koppelen we aan de breuk 3/1 (derde diagonaal),
  • enzovoort.

Je kunt de koppelingsstrategie bekijken in de animatie:

1⁄1
1
1⁄2
2
1⁄3
4
1⁄4
7
1⁄5
11
1⁄6
16
2⁄1
3
2⁄2
5
2⁄3
8
2⁄4
12
2⁄5
17
2⁄6
 
3⁄1
6
3⁄2
9
3⁄3
13
3⁄4
18
3⁄5
 
3⁄6
 
4⁄1
10
4⁄2
14
4⁄3
19
4⁄4
 
4⁄5
 
4⁄6
 
5⁄1
15
5⁄2
20
5⁄3
 
5⁄4
 
5⁄5
 
5⁄6
 
6⁄1
21
6⁄2
 
6⁄3
 
6⁄4
 
6⁄5
 
6⁄6
 

Zo kunnen we alle breuken bereiken. Geen enkele diagonaal is oneindig lang, dus we blijven in geen enkele diagonaal “voor altijd” hangen. Uiteindelijk krijgt elke breuk een natuurlijk getal toegewezen en elk natuurlijk getal krijgt natuurlijk een unieke breuk.

Nou… eigenlijk niet helemaal. Als we nog eens naar onze tabel met breuken kijken, zien we dat veel getallen zich herhalen. De breuken 1/1, 2/2, 3/3 enzovoort stellen bijvoorbeeld hetzelfde getal voor: het getal 1. Op dezelfde manier stellen de breuken 1/2, 2/4 en 3/6 een half voor. In werkelijkheid beelden we de natuurlijke getallen 1, 5, 13 enzovoort dus af op hetzelfde rationale getal 1! We hebben meerdere bruidegoms die met dezelfde bruid trouwen. Dat kan niet!

Gelukkig is dat eenvoudig te verhelpen. We schrappen uit onze tabel gewoon alle breuken die niet in de eenvoudigste vorm staan, dus alle breuken die je kunt vereenvoudigen. Na het schrappen blijven in de tabel alleen unieke rationale getallen over en werkt onze diagonaaltruc. Elk natuurlijk getal wordt gekoppeld aan een uniek rationaal getal en omgekeerd.

Dat betekent dat de verzameling van de natuurlijke getallen even groot is als de verzameling van de rationale getallen!

Tot nu toe lijkt het erop dat alle oneindige verzamelingen even groot zijn. Bestaat er een oneindige verzameling die groter is dan de verzameling van de natuurlijke getallen?

Zijn er meer natuurlijke of reële getallen?

Nu komt onze laatste redding: de reële getallen. Andere getallen hebben we op de getallenlijn niet meer. Hoe zien de reële getallen eruit? De reële getallen bevatten alle rationale getallen en daarnaast alle irrationale getallen. Als we een getal in decimale schrijfwijze noteren, geldt voor een rationaal getal dat het:

  • óf een eindige decimale ontwikkeling heeft, bijvoorbeeld 0,4841554,
  • óf een oneindige repeterende ontwikkeling heeft: 0,1313131313…

Irrationale getallen hebben daarentegen altijd een oneindige decimale ontwikkeling die bovendien niet repeteert. Een irrationaal getal is bijvoorbeeld π, dat gelijk is aan 3,141592653… (geen periode). Laten we alvast verklappen dat er veel meer reële getallen zijn dan rationale getallen en dus dan natuurlijke getallen. De verzameling van de reële getallen is groter dan de verzameling van de natuurlijke getallen. En hoe bewijzen we dat?

Stel je voor dat we een koppelingsstrategie hebben gevonden om alle natuurlijke getallen aan alle reële getallen te koppelen. Stel dat het deze is:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

We nemen aan dat links alle natuurlijke getallen staan en rechts alle reële getallen. Als dat waar zou zijn, zouden we geen reëel getal kunnen vinden dat aan de rechterkant ontbreekt. Omdat we al hebben verklapt dat de verzameling van de reële getallen groter is, betekent dat dat er aan de rechterkant wel een getal ontbreekt. Maar welk? We zien bijvoorbeeld dat het getal 0,4818063607183678 ontbreekt. Maar wat als het zich net verstopt onder het getal 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

En het getal 0,4208424736008147? Dat zien we hier ook niet. Maar wat als het zich net verstopt onder het getal negen?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Zo gaat het niet. We kunnen natuurlijk niet alle paren opschrijven, want het zijn er oneindig veel, en we kunnen ook niet zomaar gokken of dit getal er toevallig wel of niet bij staat. We zouden een getal moeten vinden dat verschilt van alle getallen rechts in de tabel, ook al weten we niet welke getallen dat allemaal zijn. Hoe doen we dat?

Twee getallen zijn al verschillend als ze in één cijfer verschillen. De getallen 0,123456 en 0,123457 zijn bijvoorbeeld niet gelijk, maar ze verschillen maar in één cijfer. Dat is genoeg. We kunnen dus in onze tabel bij het n-de reële getal steeds het n-de cijfer achter de komma markeren:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

en het nieuwe getal zo samenstellen dat het in het n-de cijfer achter de komma verschilt van het n-de cijfer van het n-de reële getal. Het nieuwe getal construeren we dus als volgt: we beginnen met nul: 0,??? en kiezen het eerste cijfer achter de komma zo dat het verschilt van het eerste cijfer van het eerste reële getal, dus van de drie. We schrijven bijvoorbeeld 0,1???. Het tweede cijfer moet verschillen van het tweede cijfer van het tweede reële getal, dus van 9. We schrijven bijvoorbeeld een twee: 0,12???. Enzovoort. De eerste negen cijfers zouden er dus zo uit kunnen zien: 0,123123127 (zie de laatste regel van de tabel):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

We zien dat dit getal verschilt van alle getallen in de tabel, omdat het van elk getal in minstens één cijfer verschilt. Hoewel onze tabel oneindig veel getallen bevat, bestaat ons nieuwe getal uit oneindig veel cijfers die zo zijn gekozen dat het van alle getallen in de tabel in minstens één cijfer verschilt. En let op: we kunnen oneindig veel getallen construeren die niet in de tabel staan! Wat volgt daaruit? We kunnen de natuurlijke getallen niet aan de reële getallen koppelen. Er blijven altijd oneindig veel reële getallen over die aan geen enkel natuurlijk getal gekoppeld zijn. Er zijn veel meer reële getallen dan natuurlijke getallen.

Opmerkingen tot slot

  • Voor het gemak hebben we in dit hele artikel de negatieve getallen genegeerd. Die veranderen natuurlijk niets aan de zaak en als huiswerk kun je de hier genoemde koppelingsstrategieën aanpassen, zodat ze ook met negatieve getallen werken.
  • De grootte van de verzameling van de natuurlijke getallen heeft zelfs een eigen naam. We noemen haar aleph-nul (ℵ₀).
  • In de wiskunde gebruiken we vaak het begrip kardinaliteit of machtigheid van een verzameling in plaats van “grootte van een verzameling”.