Как да пресметнем ефективността на ваксината?

Как е възможно от дадена болест да умрат повече ваксинирани хора, отколкото неваксинирани? Звучи парадоксално, дори звучи малко така, сякаш ваксинацията не действа – нещо повече, вреди – но ще покажем, че това не е непременно вярно.

Представи си, че имаме град със сто хиляди жители и че в него върлува коварната болест Провид. Учените и изследователите обаче са успели да създадат ваксина, която предпазва от тази болест, и с нея са ваксинирали част от жителите. И все пак, когато погледнем данните, от Провид са починали хиляда ваксинирани и хиляда неваксинирани хора. Жителите са объркани и имат чувството, че ваксинацията не действа, щом умират толкова ваксинирани, колкото и неваксинирани. Действа ли тогава ваксината, или не?

Трудно е да се каже 🤷 само въз основа на тези данни, с които разполагаме засега. Не ни стига да знаем колко ваксинирани и неваксинирани хора са починали от Провид. Трябва да знаем и колко хора реално са се ваксинирали. Мога да те попитам например: кое е по-опасно? Да караш кола, или да се изкачиш на Еверест? Числата за смъртните случаи говорят ясно: при опит за изкачване на Еверест са загинали стотици хора. В колите загиват над един милион души. Годишно. Очевидно е по-безопасно да опиташ да се изкачиш на Еверест, отколкото да се качиш в движещ се ковчег.

Сега в главата ти сигурно светва лампичка – всъщност не е по-безопасно да се катериш по Еверест, отколкото да караш кола. Числата ни заблуждават, защото не сме взели предвид, че докато на Еверест са се изкачили хиляди алпинисти, с коли пътуват милиарди хора. По същия начин трябва да вземем предвид колко хора в нашия въображаем град са ваксинирани. Нека го разгледаме на няколко примера:

• Ами ако в града сме ваксинирали само хиляда души, а 99 хиляди са неваксинирани? Това би означавало, че е починал всеки ваксиниран. А от 99-те хиляди неваксинирани е починала само една хиляда. Ваксината не само че не би помагала, а напротив – би вредяла!
• Ами ако беше обратното и в града имаше 99 хиляди ваксинирани и само хиляда неваксинирани? Починал е всеки неваксиниран, докато от ваксинираните би починала само една хиляда от 99 хиляди. Ваксината наистина не е 100%, но видимо с порядък увеличава шанса за оцеляване.
• Ами ако половината град е ваксинирана, а другата половина не е? Тогава би означавало, че е починала една хиляда от петдесет хиляди ваксинирани и една хиляда от петдесет хиляди неваксинирани. И в двете групи са починали два процента от жителите – тоест ваксината няма никакъв ефект, нито положителен, нито отрицателен.

Какво е ефективност на ваксина

Добре, по какъв начин тогава да пресметнем ефективността на ваксината? Ще кажем, че ефективността на ваксината е делът на хората, които ваксината е спасила от смърт. Например да речем, че от болестта са починали хиляда неваксинирани хора, а в алтернативна реалност, в която сме ваксинирали същите хиляда души, са починали само 300 и 700 са оцелели. В такъв случай ваксината е спасила 700 души от 1000, а ефективността ѝ би била 70%. Ако не беше починал никой, ефективността би била 100%, ако бяха починали всички, ефективността би била 0%.

Само че ние не разполагаме с две паралелни вселени, в едната от които ваксинираме даден човек, а в другата същия човек не ваксинираме. Затова трябва да пресмятаме ефективността по друг начин. Да се върнем към нашето градче със сто хиляди жители. Нека добавим липсващата информация – да речем, че сме ваксинирали 90 хиляди души. Това са данни, които можем да съберем и в реалния свят. Каква е ефективността на ваксината? Първо пресмятаме дела на починалите във всяка група, тоест колко процента от ваксинираните и неваксинираните са починали:

• Починала е една хиляда от 10 хиляди неваксинирани, което са 10%. Означаваме го с N = 10% (неваксинирани хора).
• Починала е една хиляда от 90 хиляди ваксинирани, което са около 1,11%. Означаваме го с V = 1,11% (ваксинирани хора).

Виждаме, че са починали 1,11% от ваксинираните, докато от неваксинираните са починали 10%. Получената ефективност E пресмятаме по формулата

$$E=\frac{N-V}{N}\cdot 100\mathrm{\%}$$

След заместване получаваме

$$E=\frac{10-1,11}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{8,89}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{0,889}\cdot 100\mathrm{\%}=88,9\mathrm{\%}.$$

Ефективността на нашата ваксина е равна на 88,9%. Тоест ваксината е спасила 88,9% от хората, които иначе биха умрели. Можем и да го проверим: в групата на неваксинираните са починали 10% от хората. Ако и тези 90 хиляди души не бяхме ваксинирали, от тях щяха да умрат същите десет процента, което са 9000 души. Тъй като ваксината има ефективност 88,9%, 88,9% от тези 9000 души накрая са оцелели благодарение на ваксината, т.е. 88,9% от 9000 са точно 8000 и остават 11,1% от хората, които за съжаление въпреки това са починали – това е онази хиляда починали от условието.

Виждаме, че тази ваксина ни дава много по-голям шанс за оцеляване, но не може да се каже, че след ваксинацията имаме 100% сигурност, че няма да умрем от болестта.

Колкото повече ваксинирани, толкова повече починали ваксинирани

Между другото това води до един интересен парадокс. Представи си, че с нашата ваксина с ефективност 88,9% ваксинираме още 5000 души в града, т.е. стигаме до 95 хиляди ваксинирани и само пет хиляди неваксинирани. Тогава

• От 5000 неваксинирани умират 10%, тоест 500.
• От 95 хиляди ваксинирани умират 1,11%, тоест около 1055.

‼️‼️‼️ ШОК ‼️‼️‼️ Умират много повече ваксинирани, отколкото неваксинирани. Това обаче се дължи единствено на това, че ваксинираните са с порядък повече от неваксинираните. Може да се каже и така: ваксинираните в града са 19 пъти повече от неваксинираните, а починалите ваксинирани са само два пъти повече от починалите неваксинирани.

И най-важното – общият брой на починалите е намалял. Сега имаме 500 + 1055 = 1555 починали, а в предишния пример имахме 1000 + 1000 = 2000 починали.

Различна ефективност на ваксината

Нека разгледаме някои интересни стойности на ефективността:

• 100% ефективност бихме получили, ако V е равно на нула (никой от ваксинираните не е починал), докато неваксинираните умират. Ефективността на ваксина не може да бъде по-голяма от 100%.
• 0% ефективност бихме получили, ако N = V (ако умират процентно еднакво ваксинирани и неваксинирани). Това би означавало, че ваксината няма никакъв ефект.
• Отрицателна ефективност бихме получили, ако V е по-голямо от N, тоест ако процентно умират повече ваксинирани, отколкото неваксинирани. В такъв случай ваксината би вредяла.

Ваксина с ефективност около 83% можеш да си представиш така: ако се разболееш и имаш лошия късмет болестта да е на път да те повали, ваксинацията ти осигурява допълнителна защита – можеш да хвърлиш зар и ако се паднат от едно до пет, ваксинацията те спасява, ако се падне шестица, болестта те убива въпреки това.

Внимавай с различните групи хора

Имай предвид, че при пресмятането на ефективността на ваксинацията не е добре да се ръководиш сляпо от формулата, която дадох по-горе. За да я приложиш, е добре да знаеш как се държи болестта и каква е нашата стратегия за ваксиниране. Болестите са различни, нападат различни групи хора и различните групи хора ще имат различен дял на ваксинираните. Ако една болест напада само жени, може да не ни интересува какъв е делът на ваксинираните мъже. Ако болестта напада по-възрастните, може да не ни интересува какъв е делът на ваксинираните сред по-младите и ще е по-добре да пресмятаме ефективността, като знаем дела на ваксинираните сред по-възрастните.

По същия начин при ваксините можем да измерваме различен вид защита. В цялата статия писахме мрачно и направо за смъртта, но при ваксините можем да измерваме и ефективността на това как ваксината намалява (или увеличава…) шанса да се разболеем, да предаваме болестта нататък или например да се нуждаем от хоспитализация.