Stelsels van vergelijkingen

In de praktijk komen we vaak een geval tegen waarin we niet één vergelijking uitrekenen, maar meteen twee vergelijkingen tegelijk (of nog meer). Eerst laten we zien hoe je zo'n stelsel van vergelijkingen oplost met de substitutiemethode. Voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen met matrices ga je naar het artikel stelsels van lineaire vergelijkingen.

Basis

Een stelsel van vergelijkingen bestaat uit meerdere vergelijkingen die we samen oplossen. In een stelsel van vergelijkingen hebben we meestal ook meer dan één variabele en we proberen zo een combinatie van getallen te vinden waarbij, als we ze voor alle variabelen invullen, alle vergelijkingen kloppen.

Een voorbeeld van een stelsel van vergelijkingen is dit stelsel:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

De oplossing van dit stelsel zou een paar (of een verzameling paren) getallen moeten zijn, dat we voor de variabelen a en b invullen, waarbij beide vergelijkingen blijven kloppen. We zien er zo op het oog wel dat de variabele a gelijk moet zijn aan −b, zodat aan de vergelijking a + b = 0 is voldaan. Als we die kennis hebben, zien we uit de tweede vergelijking gemakkelijk dat a = 10 en b = −10. Na invullen krijgen we:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Zo, het oplossen op het oog hebben we gehad, nu gaan we aan de slag met een paar werkende algoritmen om stelsels van vergelijkingen op te lossen.

De substitutiemethode

Bij de substitutiemethode drukken we een van de onbekenden uit in één vergelijking en dat resultaat vullen we daarna in de andere vergelijking in. We hebben dus om te beginnen een stelsel nodig. Bijvoorbeeld dit:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Dit is een eenvoudig stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden. Onze taak is om de variabelen x en y zo te bepalen dat beide vergelijkingen kloppen. Uit de eerste vergelijking maken we y vrij. We nemen dus alleen de eerste vergelijking en maken y vrij.

$4 x + 2 y = 6$

Eerst trekken we 4x af:

$2 y = 6 - 4 x$

We delen door twee:

$y = 3 - 2 x$

Nu weten we waaraan y gelijk is. Dit resultaat kunnen we invullen voor de variabele y in de tweede vergelijking. In de tweede vergelijking schrijven we dus in plaats van y de uitdrukking 3 − 2x. Wat bereiken we daarmee? We bereiken dat we in de tweede vergelijking niet twee variabelen hebben, maar nog maar één, omdat we in plaats van de variabele y een uitdrukking invullen die alleen de variabele x bevat. We vullen dus in:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Nu werken we alleen de haakjes uit en tellen we op wat er op te tellen valt:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Nu kennen we de waarde van x, die is gelijk aan twee. We moeten nog de waarde van y berekenen. Dat doen we door de al bekende waarde van x in te vullen in een vergelijking die beide variabelen bevat: x én y. We kunnen bijvoorbeeld de allereerste vergelijking kiezen. We vullen zo in:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Hiermee hebben we het stelsel opgelost. Het stelsel van vergelijkingen heeft één oplossing, namelijk x = 2 en y = −1. Als je dit resultaat wilt controleren, vul je het gewoon in beide vergelijkingen in. Invullen in de eerste vergelijking dus:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

En invullen in de tweede vergelijking:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

De eliminatiemethode

Deze methode vind ik fijner, maar het hangt natuurlijk van het concrete voorbeeld af. Ze komt niet altijd van pas. Het principe van de eliminatiemethode (ook wel optelmethode) is dat het optellen van vergelijkingen bij het oplossen van stelsels van vergelijkingen een equivalente bewerking is. Vergelijkingen tellen we op door de linkerkant van de ene vergelijking bij de linkerkant van de andere vergelijking op te tellen en daarna de rechterkanten van de vergelijkingen op te tellen. We hebben in het algemeen zo'n stelsel van vergelijkingen:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Door deze vergelijkingen op te tellen zouden we één vergelijking krijgen, zo gedefinieerd:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

We hebben de linkerkanten apart en de rechterkanten apart opgeteld. Wat is echter ons doel? Als we twee vergelijkingen optellen en er blijven twee variabelen over, schieten we er niet veel mee op. Daarom proberen we ervoor te zorgen dat na het optellen van beide vergelijkingen een variabele verdwijnt, dat wil zeggen dat ze elkaar wegtrekken, tegen elkaar wegvallen. We proberen dus te bereiken dat de som van een van de paren functies, f of g, nul is:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Hoe bereiken we dat? Een stelsel van vergelijkingen bevat gewone vergelijkingen waarop we equivalente bewerkingen van vergelijkingen kunnen toepassen, zoals we die kennen van de gewone typen vergelijkingen. Daarom kunnen we een van de vergelijkingen met een getal vermenigvuldigen zonder dat de geldigheid van de vergelijking verandert. We proberen dus het vorige stelsel van vergelijkingen op te lossen met de eliminatiemethode. De opgave is dus dezelfde:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Als we de vergelijkingen meteen zouden optellen, zouden beide variabelen blijven staan:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Daarom moeten we eerst enkele bewerkingen toepassen. We proberen de variabele y te laten “verdwijnen”. Daarvoor hebben we nodig dat de coëfficiënt voor y in beide vergelijkingen gelijk is, op het teken na: dat moet tegengesteld zijn. We zoeken dus het kleinste gemene veelvoud, en dat is 6. Een eenvoudige werkwijze is dat we de coëfficiënten met elkaar vermenigvuldigen: twee keer drie is zes, het getal zes is dus zeker deelbaar door beide getallen (opmerking: deze werkwijze levert niet per se het kleinste gemene veelvoud op, maar vindt wel een getal dat deelbaar is door beide coëfficiënten).

Nu proberen we dus voor y in elke vergelijking een zes te krijgen. De eerste vergelijking vermenigvuldigen we dus met drie, de tweede met twee:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

We krijgen:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Nu tellen we de vergelijkingen op:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

We hebben zo één vergelijking met één onbekende gekregen, die we al gemakkelijk kunnen oplossen:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

We zien dat we hetzelfde resultaat hebben gekregen als bij de vorige methode, de substitutiemethode. Nu zouden we weer x invullen in een vergelijking en we zouden de oplossing y = −1 krijgen. De controle zou ook precies hetzelfde verlopen.

Aantal oplossingen

Een stelsel van vergelijkingen hoeft niet precies één oplossing te hebben. Het kan ook oneindig veel oplossingen hebben, of juist geen enkele. Kort over wanneer dat gebeurt. Als we twee vergelijkingen met twee onbekenden hebben en we kunnen een van die vergelijkingen uitdrukken met behulp van de andere vergelijking door er een of andere equivalente bewerking op toe te passen, dan heeft het stelsel oneindig veel oplossingen. Een voorbeeld is het stelsel

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

We zien dat we, als we de eerste vergelijking met twee vermenigvuldigen, precies de tweede vergelijking krijgen. De tweede vergelijking brengt ons dus geen “nieuwe informatie” over het stelsel, en is dus praktisch overbodig. Het uit zich erin dat elke oplossing van de vergelijking

$x + y = 2$

tegelijk een oplossing van het hele stelsel is. Bijvoorbeeld de paren (1, 1) of (−3, 5) zijn een oplossing van de eerste vergelijking en tegelijk van het hele stelsel.

Een stelsel heeft geen enkele oplossing als we in het stelsel tegenstrijdige vergelijkingen hebben die niet tegelijk kunnen gelden. Bijvoorbeeld:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Het kan niet tegelijk gelden dat de som x + y gelijk is aan twee en aan vier, daarom heeft het stelsel geen enkele oplossing. Nog een paar voorbeelden:

Eerste voorbeeld

Los het volgende stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden op:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Bij een vluchtige blik op het stelsel zien we dat het een kandidaat is voor de eliminatiemethode. De coëfficiënt bij x is in de tweede vergelijking twee keer zo groot als in de eerste vergelijking en de coëfficiënt bij y is in de tweede vergelijking drie keer zo groot. We hoeven dus alleen de eerste vergelijking met min twee of met min drie te vermenigvuldigen en de vergelijkingen op te tellen. We proberen bijvoorbeeld de variabele x te laten wegvallen, dus we vermenigvuldigen de eerste vergelijking met −2. We krijgen:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

We tellen deze twee vergelijkingen op en krijgen

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

We kennen de eerste onbekende van ons stelsel. Deze waarde vullen we in een of andere vergelijking in, we kunnen haar weer in de allereerste vergelijking invullen:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

We hebben dus de oplossing van het stelsel van vergelijkingen, x = 9 en y = −14.

Tweede voorbeeld

Los het volgende stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden op:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Dit ziet er een beetje wild uit, maar het gaat lukken. Allereerst moeten we de haakjes uitwerken, zonder dat komen we niet erg ver.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Nu herleiden we de vergelijkingen tot een bruikbaarder vorm: de variabelen brengen we naar de linkerkant van de vergelijking en de constante termen naar de rechterkant, en we trekken af wat er af te trekken valt.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Nu hebben we uit die lelijk uitziende vergelijkingen een best bruikbaar stelsel van vergelijkingen gekregen en kunnen we een van de klassieke werkwijzen toepassen. We kunnen bijvoorbeeld de tweede vergelijking met twee vermenigvuldigen en bij de eerste vergelijking optellen. Na het vermenigvuldigen van de tweede vergelijking met twee krijgen we:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Nu tellen we beide vergelijkingen op met de klassieke eliminatiemethode:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Prima, we kennen al één onbekende. Deze waarde vullen we in een van de vergelijkingen in en we berekenen y. We kunnen bijvoorbeeld invullen in de vergelijking 2x− 3y = −13 en we krijgen:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Nu hebben we de volledige oplossing van het stelsel van vergelijkingen: de oplossing is x = 4 en y = 7.

« Vorige: Goniometrische ongelijkheden

Volgende: Getallen »