Vektorer

En vektor er en størrelse som i tillegg til lengden også har en retning. Det skiller vektorer fra vanlige tall, eller skalarer, som bare har en størrelse.

Rettet linjestykke

Vi har to ulike punkter A, B i planet. Mellom disse punktene kan vi trekke et linjestykke. Et slikt linjestykke skriver vi vanligvis som AB, og det spiller ingen rolle hvilken rekkefølge punktene står i. Linjestykket AB er helt det samme som linjestykket BA.

Det er ikke alltid praktisk, og derfor innfører vi begrepet rettet linjestykke, der vi skiller mellom et startpunkt og et sluttpunkt. Det rettede linjestykket AB har startpunkt i A og sluttpunkt i B. På figuren tegner vi et rettet linjestykke som en pil, og i teksten skriver vi det med en pil over punktene: $\overrightarrow{AB}$. Eksempel:

Linjestykket AB er tegnet blått, det rettede linjestykket $\overrightarrow{CD}$ rødt. Hvis vi har et rettet linjestykke $\overrightarrow{AB}$ der A = B, kaller vi det et rettet null-linjestykke. Et slikt linjestykke har samme start- og sluttpunkt, og man skulle nesten ikke kalle det et linjestykke, siden det egentlig bare er ett punkt.

Lengden av et rettet linjestykke er den samme som lengden av et vanlig linjestykke. Altså er $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Retningen til et rettet linjestykke

Se på de to rettede linjestykkene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{CD}$:

Det er lett å se at de rettede linjestykkene har samme retning. Vi kunne definert begrepet «retning» nøyaktig, men vi holder oss heller til den intuitive forståelsen. Enkelt sagt har to rettede linjestykker samme retning hvis de er parallelle og ikke peker hver sin vei. Alle disse parene av rettede linjestykker har samme retning:

De siste, grønne linjestykkene er de rettede linjestykkene $\overrightarrow{IJ}$ og $\overrightarrow{IK}$. Her er et eksempel på par av linjestykker som ikke har samme retning:

Hva er en vektor

La oss gå tilbake til figuren med to rettede linjestykker med samme retning:

Vi ser at disse rettede linjestykkene ikke bare har samme retning, men også samme lengde. Den eneste forskjellen er at de er plassert på ulike steder. Rettede linjestykker som har samme retning og samme lengde, representerer én og samme vektor.

Vi kan altså tegne én vektor i planet (rommet …) på uendelig mange måter. Vi trenger bare å ta et hvilket som helst rettet linjestykke som har samme retning og lengde som den oppgitte vektoren. Alle de følgende rettede linjestykkene representerer dermed én vektor:

En vektor er bestemt bare av lengden og retningen sin. Lengden og retningen til vektoren er den samme som lengden og retningen til det rettede linjestykket som representerer vektoren. Vektorer skriver vi vanligvis med fet skrift og pil, på samme måte som et rettet linjestykke. Vi kan altså ha vektoren $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$, eller kortere vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Ett bestemt rettet linjestykke angir så plasseringen til vektoren. På forrige figur har vi i alt 7 rettede linjestykker, og hvert av dem gir en ny plassering av vektoren. De rettede linjestykkene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{MN}$ representerer den samme vektoren, la oss si $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, men det er to ulike plasseringer av vektoren $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Parallelle vektorer

Vi har to vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Vi sier at disse vektorene er parallelle hvis de ligger langs parallelle linjer. Vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ trenger ikke å ha samme lengde. Retningen må enten være lik eller motsatt. Eksempler på parallelle vektorer:

Alle de røde vektorene er parallelle. Det spiller ingen rolle om de peker mot øvre høyre hjørne eller nedre venstre. Den blå vektoren $\overrightarrow{GH}$ er ikke parallell med dem.

Hvis parallelle vektorer peker samme vei, sier vi at de har samme retning, og hvis de peker hver sin vei, sier vi at de har motsatt retning. La oss gå tilbake til forrige figur: vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{EF}$ har samme retning, mens vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{KL}$ har motsatt retning.

Koordinatene til en vektor

Vi vet allerede at én vektor kan uttrykkes med uendelig mange rettede linjestykker. Ett av disse linjestykkene har startpunktet sitt i origo, i punktet (0, 0) i planet og i punktet (0, 0, 0) i rommet. Se på figuren:

De rettede linjestykkene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{CD}$ har samme retning og samme lengde, så det er én vektor. Linjestykket $\overrightarrow{CD}$ går ut fra origo, og koordinatene til punktet C er (0, 0). Det samme gjelder paret $\overrightarrow{EF}$ og $\overrightarrow{KL}$.

Når vi vet at linjestykkene $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ går ut fra origo, kan vi bli enige om å angi disse vektorene bare med sluttpunktet. Startpunktet er det samme (origo), så for å skille linjestykkene $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ fra hverandre holder det at vi skriver ned sluttpunktene.

Vi sier at vektoren $\overrightarrow{AB}$, og dermed også vektoren $\overrightarrow{CD}$, har koordinatene [3, 1], som er koordinatene til punktet D, sluttpunktet til linjestykket $\overrightarrow{CD}$. Vektoren $\overrightarrow{KL}$ har da koordinatene [−1, 4], koordinatene til punktet F.

Slik regner du ut koordinatene til en vektor

Nå kommer den matematiske måten å bestemme koordinatene til en vektor på. Vi tar utgangspunkt i at vi kjenner koordinatene til punktene A, B som bestemmer vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Anta at vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ er bestemt av punktene A(2, 3) og B(5, 4). Det er den røde vektoren øverst på forrige figur. Hvordan finner vi koordinatene til punktet D, altså sluttpunktet til det rettede linjestykket som representerer vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og starter i origo?

Vi flytter rett og slett hele linjestykket $\overrightarrow{AB}$ til origo. For å få punktet A til origo må vi flytte det 2 ruter til venstre og 3 ruter ned. Det samme gjør vi med punktet B. Med andre ord trekker vi koordinatene til punktet A fra både A og B. Da flyttes linjestykket $\overrightarrow{AB}$ dit der linjestykket $\overrightarrow{CD}$ er tegnet. Vi kan skrive:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& [0,0]\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& [3,1]\end{array}$$

Koordinatene til vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ er altså [3, 1], sluttpunktet til det rettede linjestykket som har startpunkt i origo.

Vi kan skrive at hvis vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ er bestemt av punktene A(x₁, y₁) og B(x₂, y₂), finner vi koordinatene til vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ slik:

$$B-A=[x_2-x_1,y_2-y_1]$$

Koordinatene til vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ skriver vi i hakeparenteser, så koordinatene til den forrige vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ skriver vi slik: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[3,1]$.

Vi kan også gå tilbake til figuren og regne ut koordinatene til vektoren $\overrightarrow{KL}$. Koordinatene til punktene K og L er K(−2, 1), L(−3, 5). Koordinatene til vektoren blir da

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=[-1,4]$$

Vi ser at vi fikk riktige koordinater, de samme som til punktet F.

Slik regner du ut lengden av vektorer

Når vi kjenner koordinatene til vektorene, er det lett å regne ut lengden deres. Med Pytagoras' setning kan vi ganske enkelt utlede at lengden av en vektor med koordinatene $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2]$ i planet er

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

På neste figur ser vi at koordinatene til vektoren stemmer med lengdene av sidene i trekanten vi har laget, og at vi lett regner ut lengden av vektoren når vi bruker Pytagoras' setning.

Hvis vi har vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[2,4]$, blir lengden

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Nå følger to eksempler som du kan bruke til å øve på stoffet.

1. Bestem koordinatene til vektoren u gitt ved punktene A(3, 7), B(−1, 0). Framgangsmåten er helt enkel og rett fram. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[u_1,u_2]=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Vektoren har altså koordinatene $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[-4,-7]$

2. Vi vet at vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ har koordinatene $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[2,3]$ og er bestemt av punktene A(6, 6) og B(x₁, y₁), dvs. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Finn koordinatene til punktet B.

   Vi setter igjen opp den velkjente likningen og isolerer den ukjente:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Den andre koordinaten finner vi på samme måte:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Punktet B har koordinatene (8, 9).