Sistemas de equações

Na prática, muitas vezes nos deparamos com o caso em que não resolvemos uma só equação, mas duas equações ao mesmo tempo (ou ainda mais). Primeiro mostramos como resolver um sistema de equações assim pelo método da substituição. Para resolver sistemas de equações com matrizes, passe para o artigo sistemas de equações lineares.

Conceitos básicos

Um sistema de equações é formado por várias equações que resolvemos em conjunto. Em um sistema de equações costumamos ter também mais de uma variável, e tentamos encontrar uma combinação de números tal que, quando os substituímos em todas as variáveis, todas as equações fazem sentido.

Um exemplo de sistema de equações pode ser este sistema:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

O resultado desse sistema deve ser um par (ou um conjunto de pares) de números que colocamos no lugar das variáveis a e b, de modo que as duas equações continuem verdadeiras. Mais ou menos a olho vemos que a variável a deve ser igual a −b para que a equação a + b = 0 seja satisfeita. Se temos esse conhecimento, da segunda equação vemos facilmente que a = 10 e b = −10. Depois de substituir, obtemos:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Pronto, a solução a olho ficou para trás; agora vamos passar a alguns algoritmos eficientes para resolver sistemas de equações.

Método da substituição

No método da substituição, isolamos uma das incógnitas em uma das equações e depois colocamos esse resultado na outra equação. Então, para começar, precisaremos de um sistema. Por exemplo, este:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Esse é um sistema simples de duas equações com duas incógnitas. Nossa tarefa é expressar as variáveis x e y de modo que as duas equações façam sentido. Da primeira equação isolamos y. Então tomamos só a primeira equação e isolamos y.

$4 x + 2 y = 6$

Primeiro subtraímos 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Dividimos por dois:

$y = 3 - 2 x$

Agora sabemos a que y é igual. Podemos substituir esse resultado na variável y da segunda equação. Então, na segunda equação, no lugar de y escrevemos 3 − 2x. O que conseguimos com isso? Conseguimos que na segunda equação não tenhamos duas variáveis, mas apenas uma, porque, no lugar da variável y, colocamos uma expressão que contém apenas a variável x. Então substituímos:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Agora apenas eliminamos o parêntese e somamos o que dá para somar:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Agora conhecemos o valor de x, que é igual a dois. Falta calcular o valor de y. Fazemos isso substituindo o valor já conhecido de x em alguma equação que contenha as duas variáveis, x e y. Podemos escolher, por exemplo, a primeira equação. Substituímos assim:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Com isso resolvemos o sistema. O sistema de equações tem uma única solução, a saber, x = 2 e y = −1. Se você quiser conferir esse resultado, basta substituir nas duas equações. Então a substituição na primeira equação:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

E a substituição na segunda equação:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Método da adição

Esse método eu prefiro, mas, claro, depende do exemplo concreto. Nem sempre é conveniente. O princípio do método da adição é que somar equações é, na resolução de sistemas de equações, uma transformação equivalente. Fazemos a adição de equações somando o primeiro membro de uma equação com o primeiro membro da outra e depois somando os segundos membros das equações. Tomemos, em geral, um sistema de equações como este:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Somando essas equações, obteríamos uma única equação definida assim:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Somamos os primeiros membros separadamente e os segundos membros separadamente. Mas qual será o nosso objetivo? Se somamos duas equações e nos sobram duas variáveis, não adianta muito. Por isso tentamos fazer com que, depois de somar as duas equações, uma variável desapareça, isto é, que se subtraiam uma da outra, que se anulem mutuamente. Tentamos, portanto, que a soma de um dos pares de funções, f ou g, seja nula:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Como conseguimos isso? O sistema de equações contém equações comuns, às quais podemos aplicar as transformações equivalentes de equações, como as conhecemos dos tipos comuns de equações. Por isso podemos multiplicar uma das equações por algum número e a validade da equação não muda. Vamos, então, tentar resolver o sistema anterior pelo método da adição. O enunciado é, portanto, o mesmo:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Se somássemos as equações imediatamente, as duas variáveis permaneceriam:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Por isso precisamos primeiro aplicar algumas transformações. Vamos tentar fazer a variável y “desaparecer”. Para isso precisamos que o coeficiente na frente de y seja igual nas duas equações, exceto pelo sinal, que deve ser oposto. Procuramos, então, o mínimo múltiplo comum, que é 6. Um procedimento simples é multiplicar os coeficientes: dois vezes três é seis, e o número seis certamente é divisível pelos dois números (observação: esse procedimento não garante o mínimo múltiplo comum, mas encontra um número divisível pelos dois coeficientes).

Agora tentamos obter na frente de y, em cada equação, um seis. Multiplicamos, então, a primeira equação por três e a segunda por dois:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Obtemos:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Agora somamos as equações:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Obtivemos, assim, uma equação com uma incógnita, que já sabemos resolver facilmente:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vemos que obtivemos o mesmo resultado que com o método anterior, o da substituição. Agora apenas substituiríamos de novo x em alguma equação e obteríamos o resultado y = −1. A verificação também seria exatamente igual.

Número de soluções

Um sistema de equações não precisa ter exatamente uma solução. Pode ter também infinitas soluções ou, ao contrário, nenhuma solução. Vejamos só brevemente quando isso acontece. Se temos duas equações com duas incógnitas e uma dessas equações pode ser expressa por meio da outra, aplicando a ela algumas transformações equivalentes, então o sistema tem infinitas soluções. Um exemplo é o sistema

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Vemos que, se multiplicarmos a primeira equação por dois, obtemos exatamente a segunda equação. A segunda equação não nos traz, assim, nenhuma “informação nova” sobre o sistema, então é praticamente desnecessária. No conjunto, isso se manifesta no fato de que qualquer solução da equação

$x + y = 2$

é, ao mesmo tempo, solução do sistema inteiro. Por exemplo, os pares (1, 1) ou (−3, 5) são solução da primeira equação e, ao mesmo tempo, do sistema inteiro.

O sistema não tem nenhuma solução se temos no sistema equações contraditórias, que não podem valer ao mesmo tempo. Por exemplo:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Não pode ocorrer de a soma x + y ser igual a dois e a quatro ao mesmo tempo; por isso o sistema não tem nenhuma solução. Ainda alguns exemplos:

Primeiro exemplo

Resolva o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Com uma olhada rápida no sistema, vemos que ele é um candidato ao método da adição. O coeficiente de x na segunda equação é o dobro do da primeira, e o coeficiente de y na segunda equação é o triplo. Basta, portanto, multiplicar a primeira equação por menos dois ou por menos três e somar as equações. Vamos tentar eliminar, por exemplo, a variável x, então multiplicamos a primeira equação por −2. Obtemos:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Somamos essas duas equações e obtemos

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Temos o primeiro resultado do nosso sistema. Substituímos esse resultado em alguma equação; podemos substituir de novo na primeira equação:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Temos, assim, o resultado do sistema de equações, x = 9 e y = −14.

Segundo exemplo

Resolva o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Isso parece meio selvagem, mas dá para fazer. Antes de tudo, precisamos eliminar os parênteses; sem isso não chegamos a lugar nenhum.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Agora transformamos as equações em uma forma mais utilizável: passamos as variáveis para o primeiro membro da equação e os termos independentes para o segundo, e subtraímos o que dá para subtrair.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Agora, daquelas equações de aparência feia, já obtivemos um sistema de equações bastante utilizável e podemos aplicar um dos procedimentos clássicos. Podemos, por exemplo, multiplicar a segunda equação por dois e somar com a primeira equação. Depois de multiplicar a segunda equação por dois, obtemos:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Agora somamos as duas equações pelo método clássico da adição:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Ótimo, já conhecemos um resultado. Substituímos esse resultado em uma das equações e calculamos y. Podemos substituir, por exemplo, na equação 2x− 3y = −13 e obtemos:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Agora já temos o resultado completo do sistema de equações: ele tem solução quando x = 4 e y = 7.

« Anterior: Inequações trigonométricas

Próximo: Números »