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Existem mais números pares ou ímpares?

De quais números você acha que há mais? Pares ou ímpares? Ou há a mesma quantidade? Como poderíamos julgar isso? E os outros números? Existem mais números pares ou números naturais? Mais números naturais ou números racionais? Não é tão simples, porque existem infinitos números de cada um desses tipos. Mesmo assim, conseguimos comparar e descobrir de quais números há mais e de quais há menos.

Vamos mostrar isso em um conjunto pequeno de números. Imagine dois conjuntos de números: os números azuis e os números vermelhos:

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Conseguimos dizer de quais números há mais? Vermelhos ou azuis? Dá para ver claramente que… O quê? Que você é daltônico e não vê isso com clareza? Tudo bem, a partir de agora vamos mostrar os números vermelhos também como quadradinhos:

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Pronto, agora dá para ver claramente que há mais números azuis do que vermelhos. Foi fácil, porque estamos trabalhando com conjuntos finitos de números e, por isso, conseguimos contá-los. Vemos que temos seis números azuis e apenas três vermelhos. Com conjuntos infinitos não vai ser tão fácil, porque não conseguimos contá-los. Vamos, então, responder à pergunta do título: existem mais números pares ou ímpares? Para simplificar, vamos ficar com os números positivos. Imagine um saco cheio de todos os números ímpares e um saco cheio de todos os números pares. Qual saco é maior?

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Bem, imaginar uma quantidade infinita de números não é nada fácil, e contá-los é ainda mais difícil. Não existe algum outro jeito de comparar o tamanho de conjuntos?

Comparando dois conjuntos finitos

Imagine que temos um saco cheio de noivos e um saco cheio de noivas. Se temos para cada noivo uma noiva e para cada noiva um noivo, podemos dizer que temos o mesmo número de noivos e de noivas:

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Está vendo? Cada noiva da primeira linha tem o seu próprio marido, da segunda linha, e vice-versa — cada marido tem a sua própria esposa. Mas também poderia acontecer outro caso: cada noiva teria o seu marido, mas nem todo marido teria uma noiva:

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Cada esposa tem um marido, mas um marido fica triste e sozinho, sem esposa. Nesse momento, como um marido está sobrando, podemos dizer que temos mais maridos do que esposas. Do mesmo modo, se sobrar uma noiva

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

podemos dizer que temos mais noivas do que maridos.

Comparando dois conjuntos infinitos

Podemos usar esse procedimento para comparar dois conjuntos infinitos? Conseguimos formar um par entre cada número ímpar e algum número par, e entre cada número par e algum número ímpar, sem poder usar nenhum dos números mais de uma vez? Conseguimos! Cada número ímpar n pode formar par com o número par n + 1. Ou seja, o número 5 forma par com o número 5 + 1, o número 149 com o número 150 etc. A animação a seguir mostra o pareamento:

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Para cada número ímpar vermelho temos um número par azul correspondente, único, e para cada número par azul temos um número ímpar vermelho correspondente, único. Conseguimos formar pares entre todos os números ímpares e todos os números pares. O que significa que existe a mesma quantidade de números pares e ímpares!

Bem, isso não foi tão surpreendente, não é? Vamos tentar comparar outros conjuntos de números: todos os números naturais versus os números pares. Aqui o resultado vai ser mais chocante.

Existem mais números naturais ou números pares?

De quais números há mais? Naturais ou pares?

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Dá para ver que os números naturais contêm todos os números pares. E, além disso, os números naturais contêm ainda alguns números a mais — os números ímpares. Fica claro, então, que deve haver mais números naturais — afinal, eles contêm o dobro de números!

Pois é, se a vida fosse tão simples!

O que nos interessa não é se um conjunto de números contém alguns números a mais. O que nos interessa é se conseguimos, de algum modo, formar pares entre os números de dois conjuntos diferentes. Conseguimos formar pares entre cada número par e cada número natural? Apesar de haver mais números naturais? Mas claro que conseguimos.

Cada número natural p pode simplesmente formar par com o número par 2 · p e, ao contrário, cada número par n pode formar par com o número natural n / 2. Assim, o número natural 5 forma par com o número par 10 e o número par 14 forma par com o número natural 7 etc. A animação a seguir mostra o pareamento para os primeiros números:

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De repente, temos para cada número natural algum número par único e para cada número par temos um número natural único! Que importa que haja mais números naturais? Existem infinitos números de ambos os tipos, e eles nunca vão acabar. Do nosso ponto de vista, o conjunto dos números pares é, portanto, tão grande quanto o conjunto dos números naturais! 😱

Isso é meio contraintuitivo, mas é assim.

Existem mais números naturais ou racionais?

Os números racionais são as frações. Todos os números que podem ser escritos na forma p/q, em que p e q são números inteiros e q ≠ 0, são números racionais. Por exemplo, ½, ¾ ou 8 são números racionais, mas π já não é um número racional. Existem muito mais números racionais do que naturais. Por exemplo, entre os números 2 e 4 existe um único número inteiro, o número 3, mas existem infinitos números racionais. Existem infinitos números racionais até mesmo entre os números 0,001 e 0,002. Existem tantos números racionais assim!

Seria de esperar, então, que o conjunto dos números racionais tivesse de ser maior que o conjunto dos números naturais. Mas, ao mesmo tempo, todos meio que desconfiamos que deve haver alguma pegadinha. Muito bem, vamos tentar formar pares entre os números racionais e os números naturais. Começamos escrevendo os números racionais em uma tabela assim:

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O padrão deve estar claro: todas as frações da primeira linha têm o número 1 no numerador (acima do traço de fração) e, no denominador, os números crescentes 1, 2, 3 etc. Na coluna é o contrário. Se continuássemos até o infinito, teríamos nessa tabela todas as frações existentes. Por exemplo, a fração 1478/517 está na linha 1478 e na coluna 517. Vamos tentar agora criar a nossa função de pareamento. Poderíamos criá-la assim:

  • O número natural 1 forma par com a primeira fração da primeira linha, isto é, com 1/1
  • O número natural 2 forma par com a segunda fração da primeira linha, isto é, com 1/2
  • O número natural 3 forma par com a terceira fração da primeira linha, isto é, com 1/3
  • O número natural 4 forma par com a quarta fração da primeira linha, isto é, com 1/4
  • …

Conseguimos formar pares com todos os números naturais dessa maneira? Sim. Cada número natural tem o seu correspondente. O número natural 174 tem como correspondente a fração 1/174. Mas o contrário também vale? Cada fração tem o seu correspondente nos números naturais? Qual é o correspondente da fração 2/3? Nenhum, porque, com a nossa função de pareamento, nunca chegamos à segunda linha. Conseguimos formar pares apenas com a primeira linha de frações.

Isso significa que existem mais números racionais do que naturais? Infelizmente não — o fato de uma estratégia de pareamento não funcionar não significa que outra não vá funcionar. Vamos tentar desta vez percorrer a tabela pelas diagonais:

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  • O número natural 1 forma par com a fração 1/1 (primeira diagonal),
  • o número natural 2 forma par com a fração 1/2 (segunda diagonal),
  • o número natural 3 forma par com a fração 2/1 (segunda diagonal),
  • o número natural 4 forma par com a fração 1/3 (terceira diagonal),
  • o número natural 5 forma par com a fração 2/2 (terceira diagonal),
  • o número natural 6 forma par com a fração 3/1 (terceira diagonal),
  • etc.

Você pode ver as estratégias de pareamento na animação:

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Dessa maneira, conseguimos cobrir todas as frações. Nenhuma diagonal é infinita, então em nenhuma diagonal ficamos presos “para sempre”. No fim, cada fração terá algum número natural associado e, claro, cada número natural terá associada uma fração única.

Bem… Na verdade, não é bem assim. Se olharmos de novo para a nossa tabela de frações, vamos perceber que muitos números se repetem. Por exemplo, as frações 1/1, 2/2, 3/3 etc. representam o mesmo número — o número 1. Do mesmo modo, as frações 1/2, 2/4 e 3/6 representam um meio. Na verdade, os números naturais 1, 5, 13 etc. estão sendo associados ao mesmo número racional 1! Temos vários noivos que se casam com a mesma noiva. Isso não pode!

Felizmente, podemos corrigir isso com facilidade. Basta riscar da nossa tabela todas as frações que não estão na forma de fração irredutível, isto é, riscar todas as frações que podem ser simplificadas. Depois dessa eliminação, restam na tabela apenas números racionais únicos, e o nosso truque das diagonais vai funcionar. Cada número natural será pareado com um número racional único e vice-versa.

O que significa que o conjunto dos números naturais é tão grande quanto o conjunto dos números racionais!

Até agora parece que todos os conjuntos infinitos têm o mesmo tamanho. Existe algum conjunto infinito que seja maior que o conjunto dos números naturais?

Existem mais números naturais ou reais?

Entra em cena a nossa última salvação: os números reais. Na reta real não existe nenhum outro número. Como são os números reais? Os números reais contêm todos os números racionais e, além deles, todos os irracionais. Se escrevermos um número em representação decimal, um número racional:

  • tem uma representação decimal finita, por exemplo 0,4841554,
  • ou tem uma representação infinita e periódica (uma dízima periódica): 0,1313131313…

Os números irracionais, ao contrário, sempre têm uma representação decimal infinita e que não é periódica. Um número irracional é, por exemplo, o número π, que é igual a 3,141592653… (sem período). Vamos adiantar logo que existem muito mais números reais do que racionais e, portanto, do que naturais. O conjunto dos números reais é maior que o conjunto dos números naturais. E como provamos isso?

Imagine que encontramos uma estratégia de pareamento que forma pares entre todos os números naturais e todos os números reais. Digamos que seja esta:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Suponhamos que à esquerda temos todos os números naturais e à direita todos os números reais. Se isso fosse verdade, não conseguiríamos encontrar nenhum número real que estivesse faltando no lado direito. Como já demos o spoiler de que o conjunto dos números reais é maior, isso significa que falta algum número no lado direito. Pois é, mas qual? Por exemplo, vemos que falta o número 0,4818063607183678. Mas e se ele estiver escondido justamente sob o número 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

E o número 0,4208424736008147? Também não o vemos. Mas e se ele estiver escondido justamente sob o número nove?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Assim não vai dar. Porque, claro, não podemos escrever todos os pares, já que existem infinitos, e não podemos simplesmente chutar se por acaso este número está ali ou não. Precisaríamos encontrar um número que seja diferente de todos os números do lado direito da tabela, mesmo sem saber quais são todos os números do lado direito. Como conseguimos isso?

Para dois números serem diferentes, basta que eles difiram em um algarismo. Por exemplo, os números 0,123456 e 0,123457 não são iguais — mas diferem em apenas um algarismo. Isso nos basta. Assim, na nossa tabela, podemos destacar sempre, no n-ésimo número real, o n-ésimo algarismo depois da vírgula:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

e montamos o novo número de modo que, no n-ésimo algarismo depois da vírgula, ele seja diferente do n-ésimo algarismo do n-ésimo número real. Construímos, então, o novo número começando pelo zero: 0,??? e escolhemos o primeiro algarismo depois da vírgula de modo que seja diferente do primeiro algarismo do primeiro número real, isto é, diferente de três. Escrevemos, por exemplo, 0,1???. O segundo algarismo precisa ser diferente do segundo algarismo do segundo número real, isto é, precisa ser diferente de 9. Escrevemos, por exemplo, o dois: 0,12???. E assim por diante. Os primeiros nove algarismos poderiam, então, ficar assim: 0,123123127 (veja a última linha da tabela):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Vemos que esse número é diferente de todos os números, porque de todos eles ele difere sempre em pelo menos um algarismo. Embora a nossa tabela contenha uma quantidade infinita de números, o nosso novo número é formado por infinitos algarismos de tal modo que difere de todos os números da tabela em pelo menos um algarismo. E repare que conseguimos construir infinitos números que não estão na tabela! O que se conclui disso? Não conseguimos formar pares entre os números naturais e os números reais. Sempre vão sobrar infinitos números reais que não estarão pareados com nenhum número natural. Existem muito mais números reais do que números naturais.

Notas finais

  • Ao longo de todo o artigo, para simplificar, ignoramos os números negativos. Mas eles, claro, não mudam nada, e, como lição de casa, você pode adaptar as estratégias de pareamento mencionadas aqui para que funcionem também com os números negativos. Também deixamos de lado o zero, que no Brasil costuma ser considerado um número natural; incluí-lo não mudaria nada.
  • O tamanho do conjunto dos números naturais tem até um nome próprio. Chamamos esse número de alef-zero.
  • Na matemática, usamos com frequência o termo cardinalidade de um conjunto no lugar de “tamanho do conjunto”.