Equação do 1º grau
Uma equação do 1º grau é uma equação que podemos transformar na forma ax + b = 0, em que a ≠ 0. Um exemplo concreto poderia ser este: 2x + 4 = 0. A solução dessa equação é o número −2, o que dá para deduzir de maneira bem lógica. Se os números fossem um pouco maiores, a dedução já não seria tão simples, então vamos precisar de um procedimento mais concreto.
Forma geral da equação do 1º grau
Mais precisamente, trata-se de uma equação com uma incógnita x que, por meio de transformações equivalentes, pode ser levada à forma ax + b = 0, em que a ≠ 0. A incógnita não aparece elevada a uma potência, dentro de uma raiz etc. As equações com a incógnita no denominador de uma fração só podem ser levadas a essa forma sob a condição de que o denominador não seja nulo. Por isso as resolvemos à parte, veja equações do 1º grau com a incógnita no denominador. Observe exemplos de diferentes equações do 1º grau:
Como você vê, uma equação do 1º grau pode ter aparências bem variadas. Para resolvê-las bem, primeiro precisamos uniformizá-las em uma única forma, que chamamos de forma geral:
em que x é a incógnita e os símbolos a e b são números reais quaisquer, chamados de coeficientes da equação. O número a não pode ser nulo, isto é, a ≠ 0. Chamamos a expressão ax de termo de 1º grau e a expressão b de termo independente.
Para resolver uma equação do 1º grau, não conseguimos passar sem as transformações equivalentes, isto é, transformações que não alteram a solução da equação. Sem elas, uma equação mais complicada não pode ser resolvida. Podemos levar a equação à forma geral transformando as próprias expressões que aparecem nela ou, justamente, com as transformações equivalentes de equações.
Voltemos aos exemplos acima. A primeira equação, 2x + 7 = 0, já está na forma geral, então vemos logo os coeficientes a = 2 e b = 7. Na segunda equação, x − 2 = 74, não é tão simples. Com uma transformação equivalente, somamos aos dois membros o número −74 (ou seja, subtraímos 74 dos dois membros) e obtemos x − 76 = 0. Essa já está na forma geral, com coeficientes a = 1 e b = −76.
A terceira equação está ainda longe da forma geral, mas também damos conta dela. Primeiro “fabricamos” um zero no segundo membro: somamos aos dois membros a expressão 12x. O segundo membro se anula, porque (−12x) + 12x = 0. A equação inteira fica assim:
Agora só falta eliminar os parênteses e somar os termos com x.
Essa equação do 1º grau está na forma geral e seus coeficientes são a = −8 e b = 3.
Na última equação precisamos nos livrar das frações. Por isso multiplicamos a equação inteira pelo número 72, que é divisível por todos os denominadores:
Agora simplificamos as frações:
No primeiro membro somamos, no segundo multiplicamos:
Resta o último passo: subtraímos dos dois membros 405x e 72, e a equação está na forma geral:
Obtivemos, portanto, os coeficientes a = −366 e b = −72.
Como resolver uma equação do 1º grau
Se temos uma equação do 1º grau na forma geral, ela se resolve facilmente. Vejamos num exemplo: 3x − 18 = 0. De que número precisamos subtrair 18 para obter zero? Ora, do próprio 18. Então, para que a expressão 3x − 18 seja igual a zero, a expressão 3x precisa ser igual a 18, e assim obtemos 18 − 18 = 0. Quando a expressão 3x será igual a 18? Exatamente quando x = 6, porque 3 · 6 = 18.
Como tiramos disso um procedimento geral? Primeiro precisamos descobrir a que deve ser igual o termo de 1º grau ax. Fazemos isso passando o termo independente para o segundo membro, isto é, somando −b à equação. Assim obtemos a equação na forma ax + b − b = −b, o que é o mesmo que ax = −b. No caso do exemplo anterior, obteríamos 3x − 18 + 18 = 18, ou seja, 3x = 18. Não se esqueça de que o número b era igual a b = −18, então, se somamos −b, somamos −(−18), e isso é igual a +18.
Temos a equação na forma ax = −b. Como obtemos diretamente x? No exemplo, procurávamos o x que, multiplicado por três, dá 18. O que fizemos de fato? Dividimos 18/3 = 6. Ou seja, pegamos a expressão do segundo membro (−b) e a dividimos pelo valor de a, no exemplo o três. Assim, de ax = −b obtemos
O procedimento completo aplicado ao primeiro exemplo fica assim:
Significado geométrico
Se transformamos a equação do 1º grau na forma geral, obtemos no primeiro membro uma função afim. O gráfico de uma função afim é uma reta. Como a forma geral da equação do 1º grau é ax + b = 0, as soluções dessa equação são todos os pontos em que a reta (o gráfico da função afim) cruza o eixo x (que é, ao mesmo tempo, o gráfico da função f(x) = 0, isto é, do segundo membro).
Por exemplo, descobrimos que a solução da equação 3x − 18 = 0 é x = 6. O que isso significa? Que o gráfico da função 3x − 18 cruza o eixo x no ponto x = 6.
Vamos tentar resolver graficamente a equação 5x + 2 = 2x − 7. Como podemos proceder? Podemos transformar a equação na forma geral, isto é, somar −2x, obtendo 3x + 2 = −7, e em seguida somar 7: 3x + 9 = 0. Agora desenhamos o gráfico da função afim y = 3x + 9 e descobrimos quando ele cruza o eixo x.
A segunda maneira é não transformar a equação de modo algum, mas desenhar os gráficos das funções dos dois membros. Isto é, desenhamos os gráficos das funções f(x) = 5x + 2 e g(x) = 2x − 7.
Essas duas retas se cruzaram em um ponto, marcado como A. Qual é a abscissa desse ponto A? De novo x = −3. A solução gráfica da equação 5x + 2 = 2x − 7 é, portanto, a abscissa do ponto de interseção dos gráficos das funções do primeiro e do segundo membro.
Exercícios resolvidos
Primeiro exemplo: Vamos resolver a equação 7x − 14 = 0. A situação é simples: a equação está na forma geral, então basta aplicar o procedimento:
Segundo exemplo: Resolva a equação 2x + 10 = 0. A equação está de novo na forma geral; só tome cuidado, porque b é positivo, e por isso, depois da transformação, você obtém um número negativo no segundo membro:
Terceiro exemplo: Resolva a equação 15 − 3x = 0. A equação está quase na forma geral; só precisamos colocar a incógnita x em primeiro lugar. Então temos a equação −3x + 15 = 0. De novo, atenção: aqui temos um sinal de menos na frente do termo de 1º grau, o que não tínhamos até agora. Mas as transformações serão exatamente as mesmas:
Podemos resolver o exemplo também de outra forma, mais longa. Em vez de dividir logo a equação por −3, podemos primeiro multiplicá-la por −1, eliminando os dois sinais de menos. E depois já podemos dividir a equação por três:
Quarto exemplo: Resolva a equação do 1º grau
Essa equação já é um pouco mais complicada, porque tem frações. Primeiro precisamos nos livrar dessas frações. O melhor é multiplicar a equação inteira pelo mínimo múltiplo comum de todos os denominadores. Temos dois denominadores, 4 e 2. O mínimo múltiplo comum é 4. Se você não quiser calcular, pode multiplicar a equação inteira pelo produto de todos os denominadores, isto é, 4 · 2 = 8, mas esse não é o procedimento recomendado, porque você vai complicar a sua vida no passo seguinte. Se multiplicarmos a equação por quatro, nos livramos das frações simplificando-as, uma a uma:
Agora levamos a equação à forma geral: x − 12 = 0, e dessa equação já vemos que x = 12.
Quinto exemplo / problema com enunciado: Temos dois irmãos, Lucas e Pedro. Pedro foi trabalhar logo depois do ensino médio, enquanto Lucas ainda foi fazer faculdade, que cursou por cinco anos no total. Pedro recebia todo mês um salário de R$ 2.500. Embora Lucas tenha se formado em um curso de Recreação com ênfase em descansar na espreguiçadeira, ele conseguiu um emprego no serviço público, onde recebia R$ 3.500 por mês. Em quanto tempo Lucas vai ganhar, no total, tanto dinheiro quanto Pedro? Ou seja, para esclarecer: em cinco anos, Pedro ganhou 5 · 12 · 2.500 reais, enquanto Lucas, depois de cinco anos, não tem nada. Em quantos meses esse valor será igual?
Do enunciado podemos montar uma equação do 1º grau assim: a variável x representará o número de meses procurado, em que x = 0 significa zero meses desde que Lucas se formou.
Primeiro montamos a função que vai determinar a renda de Lucas em função do número de meses. Assim, se nos interessa, por exemplo, a renda de Lucas depois de seis meses, calculamos simplesmente que 3.500 · 6 = 21.000 reais. Em geral, podemos escrever que, depois de x meses, Lucas ganhou no total 3.500 · x reais.
Com Pedro seria parecido: 2.500 · x, só que ainda temos de somar a quantia que ele ganhou enquanto Lucas estudava. Lucas estudou cinco anos, então Pedro ganhou, durante o curso, 5 · 12 · 2.500 reais. A expressão completa para Pedro será, portanto: 5 · 12 · 2.500 + 2.500 · x.
Colocamos essas funções em uma equação, porque nos interessa para qual x esses ganhos são iguais:
Transformamos a equação de forma simples, passando todos os x para um dos membros:
E por fim só dividimos por 1.000:
Em 150 meses os dois terão a mesma quantia de dinheiro. Durante o tempo de estudo de Lucas, Pedro ganhou nada menos que 5 · 12 · 2.500 = 150.000 reais e, nos 150 meses seguintes, ganhou 2.500 · 150 = 375.000, o que dá no total 150.000 + 375.000 = 525.000 reais. Lucas trabalhou apenas esses 150 meses e, nesse tempo, ganhou 3.500 · 150 = 525.000 reais. Vemos que, depois de cinco anos de estudo e mais 150 meses, os dois realmente ganharam o mesmo.
Mais exemplos
Resolva a seguinte equação do 1º grau:
Primeiro eliminamos os parênteses:
Agora, no primeiro membro deixamos a expressão com a incógnita e passamos todo o resto para o segundo membro:
… e por fim dividimos por dois.
Resolva a equação
De novo, primeiro eliminamos os parênteses:
Somamos o que pode ser somado e passamos as variáveis para o primeiro membro e o resto para o segundo:
Por fim dividimos a equação inteira por dois:
Capítulos: Equação do 1º grau, Equação do 1º grau com a incógnita no denominador, Equação do 1º grau com valor absoluto, Equação do 1º grau com parâmetro
