Colocar em evidência

Antes de passarmos para a colocação em evidência, vamos ver a propriedade distributiva, porque ela tem tudo a ver com a colocação em evidência. Dá até para dizer que colocar em evidência é a operação exatamente inversa da propriedade distributiva.

Aplicando a propriedade distributiva

Aplicar a propriedade distributiva é uma operação simples, que vamos mostrar com um exemplo: calculemos a expressão 3 · (5 + 8). Temos duas maneiras de proceder. Podemos somar a expressão entre parênteses e obter 3 · 13, porque 5 + 8 = 13.

A segunda maneira é distribuir o fator pelos parênteses. Isso significa que pegamos o número que está antes dos parênteses, o três, e multiplicamos por ele os dois números dentro dos parênteses. O sinal de mais dentro dos parênteses permanece. Assim obtemos:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

As duas maneiras levam ao mesmo resultado: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Por que a propriedade distributiva funciona

Por que podemos nos permitir esse procedimento, por que a distribuição funciona? Imaginemos o produto como uma soma desenvolvida. Se, por exemplo, escrevemos 3 · 7, estamos dizendo que queremos somar três vezes o número sete, isto é, 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Da mesma forma, podemos desenvolver um exemplo com parênteses: 3 · (5 + 8) é o mesmo que (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Como na adição a ordem não importa, podemos tirar os parênteses e colocar os cincos e os oitos lado a lado assim: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. E aqui já vemos que essa expressão pode ser reescrita com multiplicação assim: 3 · 5 + 3 · 8, que é o que fizemos ao aplicar a propriedade distributiva.

Exemplos de propriedade distributiva

1. Aplique a propriedade distributiva em 5 · (4 + 7). De novo, basta multiplicar por cinco os números dentro dos parênteses, e obtemos 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Aplique a propriedade distributiva em 6 · (x + 4). Não vamos nos assustar com a incógnita e simplesmente multiplicá-la também por seis. Obtemos: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Aplique a propriedade distributiva em x · (4 + 173). Agora temos a incógnita antes dos parênteses, então multiplicamos por x os dois números dentro dos parênteses. Obtemos x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Aplique a propriedade distributiva em: 4x · (2x + 7). Agora temos a incógnita antes dos parênteses e também dentro deles, e além disso temos antes dos parênteses uma expressão mais complexa. Isso também não atrapalha, multiplicamos o conteúdo dos parênteses por 4x assim: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Colocação em evidência simples

Colocar em evidência é o procedimento inverso da propriedade distributiva. No começo temos, por exemplo, a expressão 10x + 5. Se agora encontrarmos algum número pelo qual possamos dividir de maneira razoável as duas parcelas, podemos colocar esse número em evidência. Na nossa expressão será o número 5, porque 10x / 5 = 2x e 5 / 5 = 1. Podemos então escrever que

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Quando aplicamos de volta a propriedade distributiva em 5 · (2x + 1), obtemos novamente 10x + 5. O objetivo da colocação em evidência é, normalmente, simplificar a expressão dada ou colocá-la na forma de um produto, para podermos simplificá-la numa fração.

Colocando a incógnita em evidência

Muitas vezes se coloca em evidência a própria incógnita, não precisamos colocar apenas um número. Assim, se temos a expressão 3x² + 7x, podemos colocar x em evidência, isto é, dividimos os dois termos por x, acrescentamos parênteses e multiplicamos os parênteses por x. Obtemos 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Normalmente tentamos colocar em evidência o “máximo” possível, então, se tivéssemos a expressão 8x² + 12x, podemos colocar em evidência apenas x e obter 8x² + 12x = x · (8x + 12), mas vemos que dos parênteses ainda poderíamos colocar em evidência o número 4. Podemos fazer isso agora, depois, e obtemos: x · (4 · (2x + 3)). Esses parênteses externos podemos eliminar, e obtemos: 4x · (2x + 3).

Chegaríamos ao mesmo resultado se, da expressão original 8x² + 12x, colocássemos em evidência diretamente a expressão 4x. Se desenvolvêssemos isso, obteríamos

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Colocando em evidência em expressões mais complexas

Até agora colocamos em evidência apenas em expressões que contêm duas parcelas. Mas podemos colocar em evidência também em expressões mais longas. Por exemplo, de 7x³ + 5x² + 2x podemos colocar x em evidência e obtemos x · (7x² + 5x + 2).

Também não precisamos colocar em evidência sempre apenas um número bonito, podemos colocar qualquer coisa. Por exemplo, da expressão 6x + 7 podemos colocar o número 2 em evidência, mas obtemos um resultado feio, porque temos de dividir as duas parcelas por dois. Em 6x dá tudo certo, porque 6x / 2 = 3x, mas no número 7 já não fica muito bonito: 7 / 2 = 3,5. Obtemos assim a expressão final: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Exemplos resolvidos

• Coloque em evidência, de forma conveniente, 25x + 45. À primeira vista se vê que podemos colocar o número 5 em evidência, então obtemos 5 · (5x + 9).

• Simplifique a fração

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Primeiro colocamos x em evidência no numerador da fração. Obtemos assim, no numerador, x · (3x + 7). Agora podemos simplificar o x na fração inteira.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Coloque em evidência, de forma conveniente, −2x² − 8x. Aqui temos números negativos pela primeira vez. Isso não atrapalha em nada: assim como colocamos números positivos em evidência, podemos colocar números negativos. Podemos colocar logo de uma vez −2x em evidência. Obtemos

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$