Propriedade distributiva

A distributividade é uma propriedade de duas operações binárias, como, por exemplo, a adição e a multiplicação. A distributividade nos diz, no caso da multiplicação e da adição, que podemos “eliminar os parênteses”, multiplicando cada parcela. Como exemplo, se temos a expressão

$$2\cdot (3+4)$$

sabemos que podemos fazer a chamada “distributiva”, obtendo outra expressão

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

As duas expressões levam ao mesmo resultado, o número 14. Pudemos fazer essa transformação porque a operação de multiplicação é, no conjunto dos números reais, distributiva em relação à operação de adição. Em geral, vale que, se temos duas operações · e +, dizemos que a operação · é distributiva em relação à operação + no conjunto M se vale

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

para todos a, b, c ∈ M. Outro exemplo de operações distributivas são as operações da lógica proposicional, a conjunção ∧ e a disjunção ∨. Imagine que temos as proposições A, B e C. Se dizemos “A e, ao mesmo tempo, (B ou C)”, escrevemos

$$A\wedge (B\vee C)$$

E, como a operação de conjunção é distributiva em relação à operação de disjunção, vale também

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Ou seja, em palavras: “(A e, ao mesmo tempo, B) ou (A e, ao mesmo tempo, C)”. Para termos também um exemplo de operações que não são distributivas, tomemos, por exemplo, a adição e a subtração:

$$10-(5+3)$$

O resultado correto é, naturalmente, 2, porque, depois de somar o parêntese, obtemos 10 − 8, que é 2. Se aplicássemos a esse cálculo a regra da distributividade, obteríamos a expressão:

$$(10-5)+(10-3)$$

Depois de somar os parênteses, teríamos 5 + 7, que é 12. Vemos que obtivemos um resultado errado; a adição e a subtração, portanto, não são distributivas.

Outros exemplos: algumas operações com matrizes cumprem a lei distributiva. Os vetores em um espaço vetorial também. As operações sobre um corpo têm de ser distributivas.