Numere prime
Numerele prime sunt numerele divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Proprietățile numerelor prime sunt folosite adesea, de exemplu, în criptografie.
Definiție și exemple
Un număr prim este un număr natural divizibil fără rest doar cu 1 și cu el însuși, iar numărul 1 în sine nu este prim. Cel mai mic număr prim este 2 – este divizibil fără rest cu 1 și cu 2. Este totodată singurul număr prim care este par. Toate celelalte numere prime sunt impare, deoarece orice alt număr par este divizibil, în afară de 1 și de el însuși, și cu 2.
Șirul primelor numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Numerele prime sunt legate de teorema fundamentală a aritmeticii, care spune că orice număr întreg mai mare decât 1 poate fi descompus într-un produs de numere prime.
Verifică dacă numărul este prim
Proprietăți ale numerelor prime
- Există o infinitate de numere prime. Demonstrația se găsește în articolul despre demonstrația prin reducere la absurd.
- Pentru orice număr întreg z > 1, în intervalul (z, 2z) există cel puțin un număr prim. Exemplu: pentru z = 2 avem intervalul (2, 4). Singurul număr întreg din acest interval este 3, iar acesta este prim. Pentru z = 5 obținem intervalul (5, 10), adică numerele 6, 7, 8, 9. Numărul 7 este prim. La fel pentru z mai mari.
- Un număr prim Mersenne este un număr prim cu 1 mai mic decât o putere întreagă a lui 2. Un număr prim Mersenne M are deci forma M = 2z − 1, unde z este un număr natural. Un exemplu este numărul prim 3, deoarece 22 − 1 = 3. Sau 7, deoarece 23 − 1 = 7.
- Cele mai mari numere prime cunoscute sunt de obicei numere prime Mersenne. De exemplu, pe 23 august 2008 a fost găsit numărul prim Mersenne M43112609, unde indicele inferior reprezintă exponentul z. Este vorba deci despre numărul prim 243112609 − 1, care are 12.978.189 cifre și care a fost la acea vreme cel mai mare număr prim cunoscut.
Șir fără numere prime
Se poate găsi un șir finit oricât de lung de numere naturale consecutive printre care nu se află niciun număr prim. Un astfel de șir poate avea forma k! + 2, k! + 3, …, k! + k și conține k − 1 numere compuse consecutive (semnul exclamării înseamnă factorial).
De exemplu, pentru k = 6 obținem cinci numere compuse consecutive de forma: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Aceste numere sunt divizibile, în ordine, cu 2, 3, 4, 5 și 6, deoarece numărul 6! = 720 este cu siguranță divizibil cu toate aceste numere, fiind obținut ca produsul lor: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Dacă numărul 720 este divizibil cu 3, atunci și numărul 720 + 3 trebuie să fie divizibil cu 3. La fel și pentru celelalte.
Mica teoremă a lui Fermat
Pentru orice număr prim p și orice număr întreg z, numărul zp − z este divizibil cu numărul prim p.
Exemplu: să luăm numărul prim p = 3 și numărul întreg z = 4. Calculăm valoarea numărului 43 − 4. Aceasta este egală cu 60. Dar 60 : 3 = 20, deci 3 împarte exact numărul 60, ceea ce corespunde teoremei lui Fermat. Alt exemplu: p = 7, z = 10. Calculăm rezultatul intermediar 107 − 10 = 9.999.990 și împărțim acest număr la 7: 9.999.990 : 7 = 1.428.570. Din nou am obținut un rezultat fără rest.
Întrebări nerezolvate
Numerele prime sunt legate de multe conjecturi cunoscute care încă (în 2011) nu au putut fi nici demonstrate, nici infirmate. Printre cele mai cunoscute două se numără:
- Infinitatea perechilor de numere prime gemene: o pereche de numere prime gemene este o pereche de numere (z, z + 2), în care ambele numere sunt prime. De exemplu (3, 5) sau (29, 31). Întrebarea este dacă există o infinitate de astfel de perechi. Se presupune că da, dar demonstrația lipsește.
- Ipoteza lui Riemann: toate zerourile netriviale ale funcției zeta a lui Riemann au partea reală egală cu
