Distribuția de probabilitate

Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare ne arată care este probabilitatea ca variabila aleatoare să ia chiar o anumită valoare.

Distribuția unei variabile discrete

Să luăm o variabilă aleatoare discretă; de exemplu, am putea urmări câte halbe de bere bea pe zi Ghiță, bețivul cartierului. Urmărindu-l pe Ghiță o lună întreagă, am întocmit tabelul următor:

Vedem că la începutul lunii Ghiță s-a mai ținut puțin, dar apoi a dat pe gât o bere după alta. Iar săptămâna de după ziua a 11-a trebuie să fi fost nebunească. Să notăm această variabilă aleatoare discretă cu X. Acum ne interesează care este probabilitatea ca Ghiță să bea într-o zi oarecare a lunii exact x halbe de bere.

Înainte să calculăm probabilitatea propriu-zisă, construim o simplă diagramă a frecvențelor. Găsim toate numerele de halbe pe care Ghiță le-a băut într-o zi și le trecem în diagrama frecvențelor. De exemplu, zece halbe a băut Ghiță în total de nouă ori, deci pentru valoarea zece halbe vom avea o coloană cu valoarea nouă:

Diagrama o citim așa: șase halbe a băut Ghiță în trei zile din lună.

Care este probabilitatea ca Ghiță să fi băut într-o zi zece halbe? Formal am scrie așa: funcția de probabilitate o notăm P, iar întrebarea despre zece halbe o scriem P(X = 10). Cu aceasta întrebăm care este probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea zece.

Probabilitatea va fi egală cu frecvența relativă a valorii date. Așadar construim încă o diagramă, cea a frecvențelor relative:

Acum putem spune că P(X = 10) este egală cu 0,3, adică 30%.

Probabilitatea statistică și cea matematică

Să luăm ca exemplu un zar obișnuit. Să încercăm să-l aruncăm de 600 de ori. Din punctul de vedere al probabilității matematice clasice, avem aceleași șanse să iasă 1, 2, …, 6. Fiecare față a zarului are probabilitatea $\frac{1}{6}$. Pur teoretic, ar trebui deci ca fiecare față să iasă exact de o sută de ori, dacă am aruncat zarul de șase sute de ori.

Cel mai probabil, bineînțeles, așa ceva nu se va întâmpla. În experimentul nostru am putea obține aceste rezultate:

Vedem că frecvența relativă, deci și probabilitatea, ca pe zar să apară un punct este 0,175, adică 17,5%. Este aproape de probabilitatea $\frac{1}{6}$, adică 0,16666…, dar nu este chiar exactă.

Nu înseamnă că una dintre probabilități ar fi greșită. Să construiești un zar perfect echilibrat nu este deloc o sarcină ușoară, iar efectuarea testului propriu-zis, în care aruncăm zarul de 600 de ori, poate fi și ea dificilă.

Probabilitatea matematică funcționează deci în condiții ideale, în care am arunca zarul la nesfârșit. Cu cât am arunca mai mult un zar ideal echilibrat, cu atât frecvențele relative ale fiecărei fețe s-ar apropia mai mult de probabilitatea matematică teoretică.

De aceea deosebim două probabilități – cea matematică, care pornește de la condiții idealizate, și cea statistică (numită și empirică), pe care o calculăm din frecvențele relative ale datelor noastre.

Ca să calculăm probabilitatea statistică, ar trebui să avem la dispoziție un set de date suficient de mare. De exemplu, pe bețivul nostru Ghiță l-am urmărit doar o lună, dar ar fi mult mai bine dacă l-am urmări măcar un an.

Distribuția unei variabile continue

La o variabilă continuă nu determinăm probabilitatea într-un punct anume, ci întotdeauna doar pe un interval. Probabilitatea va fi egală cu aria de sub curbă, așa că pentru calcul vom avea nevoie de integrală. Putem avea un astfel de grafic al unei variabile continue, de exemplu măsurarea unei abateri în cm:

Pe axa Ox avem deci valorile în cm, iar pe axa Oy frecvențele relative. Să presupunem că am măsurat doar valori în intervalul [−4, 4]. Probabilitatea empirică de a măsura o abatere din acest interval este deci 1, adică 100%.

Cum se leagă aria de aceasta? Spunem că mărimea ariei ${\int }_{-4}^{4}p(x)$, unde p este funcția de probabilitate, ne dă tocmai acele 100%. Dacă am întreba care este probabilitatea empirică ca valoarea să se afle în intervalul [0, 4], am obține o figură ca aceasta:

Partea evidențiată anterior corespundea celor 100%, aceasta corespunde la 50%, deoarece aria este evident de două ori mai mică. Mai exact, probabilitatea statistică o exprimăm ca raport:

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Legea numerelor mari

De capitolul precedent se leagă cunoscuta lege a numerelor mari. Aceasta spune, informal, că la un număr mare de experimente independente frecvența relativă (probabilitatea statistică) se apropie de probabilitatea matematică.

Ne putem imagina din nou aruncarea unei monede. Poate ieși cap sau pajură, fiecare față are probabilitatea $\frac{1}{2}$, adică 50%. Dacă aruncăm moneda de patru ori, ne poate ieși de trei ori cap și o dată pajură. Frecvențele relative sunt astfel $\frac{3}{4}$ și $\frac{1}{4}$. Asta este destul de departe de $\frac{1}{2}$.

Dacă aruncăm în total de zece ori, ne poate ieși de șapte ori cap și de trei ori pajură. Acestea sunt frecvențele $\frac{7}{10}$ și $\frac{3}{10}$. Încă sunt departe de $\frac{1}{2}$, dar tot sunt mai aproape de o jumătate decât frecvențele precedente.

Am putea continua așa mai departe. Dacă am arunca moneda de o mie de ori, ne-ar putea ieși de 520 de ori cap și de 480 de ori pajură. Acestea sunt frecvențele $\frac{13}{25}$ și $\frac{12}{25}$, care sunt deja foarte aproape de o jumătate (pentru comparație, $\frac{13}{25}=0,52$).

Observă că, deși frecvențele relative sunt mult mai aproape de o jumătate, frecvențele absolute sunt mult mai departe de frecvența „ideală”. Când am aruncat moneda de zece ori, frecvența absolută ideală pentru fiecare față era 5. Adică de cinci ori cap și de cinci ori pajură. Fiindcă a ieșit cap de șapte ori, rezultă o diferență de două aruncări: 7 − 5 = 2. Am aruncat „cu două aruncări altfel” decât în situația ideală.

Când am aruncat însă moneda de o mie de ori, a ieșit cap de 520 de ori, ceea ce dă o diferență de 20 de aruncări față de ideal, pentru că în cazul ideal fiecare față ar fi trebuit să iasă de 500 de ori. Ar părea deci că, cu cât aruncăm mai de multe ori, cu atât obținem rezultate mai îndepărtate.

Asta însă nu contează: legea numerelor mari nu afirmă că ne vom apropia de ideal în frecvențe absolute, ci în cele relative. Iar acestea se apropie. Deci în frecvențe absolute ne vom îndepărta poate, dar în cele relative ne vom apropia.