Sisteme de ecuații

În practică întâlnim adesea cazul în care nu rezolvăm o singură ecuație, ci două ecuații în același timp (sau chiar mai multe). Mai întâi vom arăta cum rezolvăm un astfel de sistem de ecuații cu metoda substituției. Pentru rezolvarea sistemelor de ecuații cu ajutorul matricelor treci la articolul sisteme de ecuații liniare.

Noțiuni de bază

Un sistem de ecuații reprezintă mai multe ecuații pe care le rezolvăm împreună. Într-un sistem de ecuații avem de obicei și mai multe variabile, nu doar una, și încercăm să găsim o combinație de numere care, înlocuite în locul tuturor variabilelor, fac ca toate ecuațiile să fie adevărate.

Un exemplu de sistem de ecuații poate fi acest sistem:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Rezultatul acestui sistem ar trebui să fie o pereche (sau o mulțime de perechi) de numere pe care le înlocuim în locul variabilelor a și b, astfel încât ambele ecuații să rămână adevărate. Cam din ochi vedem că variabila a trebuie să fie egală cu −b, ca să fie satisfăcută ecuația a + b = 0. Știind asta, din a doua ecuație vedem ușor că a = 10 și b = −10. După înlocuire obținem:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Gata, rezolvarea „din ochi” am terminat-o, acum ne apucăm de niște algoritmi care chiar funcționează pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

Metoda substituției

În metoda substituției exprimăm una dintre necunoscute dintr-o ecuație și acest rezultat îl introducem apoi în cealaltă ecuație. La început avem deci nevoie de un sistem. De exemplu acesta:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Acesta este un sistem simplu de două ecuații cu două necunoscute. Sarcina noastră este să determinăm variabilele x și y astfel încât ambele ecuații să fie adevărate. Din prima ecuație izolăm pe y. Luăm deci doar prima ecuație și izolăm pe y.

$4 x + 2 y = 6$

Mai întâi scădem 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Împărțim la doi:

$y = 3 - 2 x$

Acum știm cu ce este egal y. Acest rezultat îl putem înlocui în locul variabilei y în a doua ecuație. Deci în a doua ecuație scriem în loc de y expresia 3 − 2x. Ce câștigăm prin asta? Faptul că în a doua ecuație nu vom mai avea două variabile, ci doar una, pentru că în locul variabilei y înlocuim o expresie care conține doar variabila x. Înlocuim deci:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Acum desfacem paranteza și reducem ce se poate:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Acum cunoaștem valoarea lui x, este egală cu doi. Ne rămâne să calculăm valoarea lui y. Facem asta înlocuind valoarea deja cunoscută a lui x într-o ecuație care conține ambele variabile – și x, și y. Putem alege, de exemplu, chiar prima ecuație. Înlocuim astfel:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Cu aceasta am rezolvat sistemul. Sistemul de ecuații are o singură soluție, anume x = 2 și y = −1. Dacă vrei să verifici acest rezultat, înlocuiește-l pur și simplu în ambele ecuații. Înlocuirea în prima ecuație:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Și înlocuirea în a doua ecuație:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Metoda reducerii

Metoda aceasta îmi place mai mult, dar bineînțeles depinde de exemplul concret. Nu se potrivește întotdeauna. Principiul metodei reducerii este că adunarea ecuațiilor reprezintă, la rezolvarea sistemelor de ecuații, o transformare echivalentă. Adunarea ecuațiilor o facem adunând membrul stâng al unei ecuații cu membrul stâng al celeilalte ecuații și apoi adunând membrii drepți ai ecuațiilor. Să luăm în general un astfel de sistem de ecuații:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Prin adunarea acestor ecuații am obține o singură ecuație definită astfel:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Am adunat separat membrii stângi și separat membrii drepți. Dar care va fi scopul nostru? Dacă adunăm două ecuații și rămân două variabile, nu ne ajută prea mult. De aceea ne străduim ca, după adunarea ambelor ecuații, o variabilă să dispară, adică să se reducă una pe alta, să se anuleze reciproc. Ne străduim deci ca suma uneia dintre perechile de funcții, fie f, fie g, să fie nulă:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Cum reușim asta? Sistemul de ecuații conține ecuații obișnuite, asupra cărora putem aplica transformări echivalente ale ecuațiilor, așa cum le știm de la tipurile obișnuite de ecuații. De aceea putem înmulți una dintre ecuații cu un număr oarecare, iar ecuația rămâne adevărată. Încercăm deci să rezolvăm sistemul de ecuații precedent cu metoda reducerii. Enunțul este deci același:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Dacă am aduna ecuațiile imediat, ne-ar rămâne ambele variabile:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

De aceea trebuie să aplicăm mai întâi niște transformări. Vom încerca să facem să „dispară” variabila y. Pentru asta avem nevoie ca în ambele ecuații coeficientul lui y să fie egal, cu excepția semnului – acesta trebuie să fie opus. Căutăm deci cel mai mic multiplu comun, care este 6. Un procedeu simplu este să înmulțim coeficienții: doi ori trei este șase – numărul șase este deci sigur divizibil cu ambele numere (observație: acest procedeu nu garantează cel mai mic multiplu comun, dar găsește un număr divizibil cu ambii coeficienți).

Acum încercăm să obținem în fața lui y în fiecare ecuație un șase. Prima ecuație o înmulțim deci cu trei, a doua cu doi:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Obținem:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Acum adunăm ecuațiile:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Am obținut astfel o ecuație cu o necunoscută, pe care știm deja s-o rezolvăm ușor:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vedem că ne-a ieșit același rezultat ca la metoda precedentă, metoda substituției. Acum am înlocui din nou x într-o ecuație și am obține rezultatul y = −1. Verificarea ar decurge și ea exact la fel.

Numărul de soluții

Un sistem de ecuații nu are neapărat exact o soluție. Poate avea și o infinitate de soluții sau, dimpotrivă, nicio soluție. Doar pe scurt despre când se întâmplă asta. Dacă avem două ecuații cu două necunoscute și una dintre aceste ecuații o putem exprima cu ajutorul celeilalte aplicând asupra ei niște transformări echivalente, atunci sistemul are o infinitate de soluții. Un exemplu este sistemul

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Vedem că dacă înmulțim prima ecuație cu doi, obținem exact a doua ecuație. A doua ecuație nu ne aduce deci nicio „informație nouă” despre sistem, așa că este practic inutilă. În ansamblu, asta se reflectă în faptul că orice soluție a ecuației

$x + y = 2$

este totodată soluție a întregului sistem. De exemplu, perechile (1, 1) sau (−3, 5) sunt soluții ale primei ecuații și totodată ale întregului sistem.

Sistemul nu are nicio soluție dacă avem în sistem ecuații contradictorii, care nu pot fi adevărate simultan. De exemplu:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Nu se poate ca suma x + y să fie egală simultan cu doi și cu patru, de aceea sistemul nu are nicio soluție. Încă câteva exemple:

Primul exemplu

Rezolvă următorul sistem de două ecuații cu două necunoscute:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

După o privire fugară asupra sistemului vedem că este un candidat pentru metoda reducerii. Coeficientul lui x din a doua ecuație este de două ori mai mare decât în prima ecuație, iar coeficientul lui y din a doua ecuație este de trei ori mai mare. Este deci suficient să înmulțim prima ecuație fie cu minus doi, fie cu minus trei și să adunăm ecuațiile. Încercăm să eliminăm, de exemplu, variabila x, deci înmulțim prima ecuație cu −2. Obținem:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Adunăm aceste două ecuații și obținem

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Avem primul rezultat al sistemului nostru. Acest rezultat îl înlocuim într-o ecuație, îl putem înlocui din nou chiar în prima ecuație:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Avem deci rezultatul sistemului de ecuații, x = 9 și y = −14.

Al doilea exemplu

Rezolvă următorul sistem de două ecuații cu două necunoscute:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Asta pare cam sălbatic, dar se poate rezolva. Înainte de toate trebuie să desfacem parantezele, fără asta nu ajungem prea departe.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Acum aducem ecuațiile la o formă mai utilizabilă, mutăm variabilele în membrul stâng al ecuației și termenii liberi în cel drept, apoi reducem ce se poate.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Acum din acele ecuații cu aspect neplăcut am obținut un sistem de ecuații destul de utilizabil și putem aplica una dintre metodele clasice. Putem, de exemplu, să înmulțim a doua ecuație cu doi și să o adunăm cu prima ecuație. După înmulțirea celei de-a doua ecuații cu doi obținem:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Acum adunăm ambele ecuații prin metoda clasică a reducerii:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Excelent, cunoaștem deja un rezultat. Acest rezultat îl înlocuim într-una dintre ecuații și calculăm y. Putem înlocui, de exemplu, în ecuația 2x− 3y = −13 și obținem:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Acum avem rezultatul complet al sistemului de ecuații – soluția este x = 4 și y = 7.

« Anterior: Inecuații trigonometrice

Următor: Numere »