Distribuția uniformă și cea normală

Există două distribuții tipice ale frecvențelor, pe care le putem întâlni des și în practică. Este vorba despre distribuția uniformă și distribuția normală.

Distribuția uniformă

Distribuția uniformă înseamnă că în populația noastră toate valorile apar la fel de des. Putem număra, de exemplu, câte luni au avut anii 2000, 2001, …, 2009:

Dacă aruncăm un zar clasic, idealizat, avem probabilitatea $\frac{1}{6}$ să iasă 1, probabilitatea $\frac{1}{6}$ să iasă 2 etc. Vorbim astfel despre o distribuție uniformă de probabilitate, deoarece fiecare rezultat are aceeași probabilitate.

Distribuția ar fi neuniformă dacă am avea un zar măsluit, pe care ar ieși cu probabilitatea $\frac{1}{3}$ mereu un șase. Celelalte fețe nu pot avea și ele probabilitatea $\frac{1}{3}$. La fel am putea număra zilele din fiecare lună – nu toate lunile au același număr de zile, deci nu ar fi vorba de o distribuție uniformă a frecvențelor.

Distribuția normală

Distribuției normale i se mai spune uneori și distribuția lui Gauss. Se folosește numai la variabile aleatoare continue. Distribuția normală standardizată are această formă:

Această curbă este descrisă de așa-numita funcție a lui Gauss, care are forma:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Funcția este destul de complicată, nu trebuie s-o ții minte. Vedem însă că distribuția normală se poate parametriza cu ajutorul mediei și al abaterii standard/dispersiei. Pentru diferite valori ale mediei și ale abaterii se obțin grafice diferite:

Distribuția normală este importantă pentru că modelează destul de fidel diferite distribuții pe care le putem întâlni în realitate. Vedem că curba are întotdeauna un singur maxim global, și anume chiar în punctul valorii medii. De exemplu, curba roșie are maximul în punctul X = 0, deci valoarea medie a acestei mărimi este zero. Curba este simetrică față de dreapta perpendiculară pe axa X care trece prin medie, adică prin punctul X = 0. Altfel spus – curba arată la stânga lui zero la fel ca la dreapta lui zero. Curba verde are aceleași proprietăți, doar că nu cu zero, ci cu punctul X = −2.

Distribuția normală poate descrie fidel distribuția inteligenței sau a IQ-ului în rândul oamenilor. Valoarea medie a IQ-ului este – prin definiție – 100. Totodată, aproximativ același număr de oameni au IQ mai mare decât 100 și mai mic decât 100. Oamenii ușor sub medie ca inteligență sunt aproximativ tot atât de mulți cât cei ușor peste medie, iar proștii sunt tot atât de mulți cât geniile. Deși uneori nu pare :-). Graficul care arată distribuția aproximativă a IQ-ului:

La distribuția normală abaterea standard joacă un rol important. Dacă avem o distribuție normală cu abaterea σ, atunci aproximativ 68% dintre valori se află în intervalul [μ − σ, μ + σ]. Adică circa 68% dintre valori diferă de medie cu cel mult o abatere standard. Aproximativ 95% dintre valori se află apoi în intervalul [μ − 2σ, μ + 2σ], iar 99,7% dintre valori în intervalul [μ − 3σ, μ + 3σ]. Figura următoare le arată pe scurt:

Surse și trimiteri

• Unele imagini provin de pe Wikipedia, din articolele Distribuția normală și Intelligence.