Scoaterea factorului comun

Înainte să trecem la scoaterea factorului comun, vom parcurge desfacerea parantezelor, pentru că are legătură strânsă cu ea. Se poate chiar spune că scoaterea factorului comun este operația exact inversă desfacerii parantezelor.

Desfacerea parantezei

Desfacerea parantezei este o operație simplă, pe care o arătăm pe un exemplu: calculăm expresia 3 · (5 + 8). Avem două moduri de a proceda. Putem aduna numerele din paranteză și obținem 3 · 13, pentru că 5 + 8 = 13.

A doua cale este să desfacem paranteza. Asta înseamnă că luăm numărul din fața parantezei, trei, și cu el înmulțim ambele numere din paranteză. Semnul plus din paranteză rămâne. Obținem astfel:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Ambele metode duc la același rezultat: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

De ce funcționează desfacerea parantezei

De ce ne putem permite această metodă, de ce funcționează desfacerea? Să ne imaginăm produsul ca pe o sumă scrisă dezvoltat. Dacă scriem, de exemplu, 3 · 7, spunem că vrem să adunăm de trei ori numărul șapte, adică 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

La fel putem dezvolta și un exemplu cu paranteză: 3 · (5 + 8) este același lucru cu (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Deoarece la adunare ordinea nu contează, putem scoate parantezele și așeza toți termenii 5 și toți termenii 8 unii lângă alții astfel: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Iar aici vedem deja că această expresie se poate rescrie cu ajutorul înmulțirii astfel: 3 · 5 + 3 · 8, adică exact ce am făcut la desfacerea parantezei.

Exemple de desfacere a parantezelor

1. Desfă paranteza 5 · (4 + 7). Din nou, înmulțim cu cinci doar numerele din paranteză și obținem 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Desfă paranteza 6 · (x + 4). Nu ne speriem de necunoscută, ci o înmulțim și pe ea cu șase. Obținem: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Desfă paranteza x · (4 + 173). Acum avem necunoscuta în fața parantezei, deci ambele numere din interior le înmulțim cu x. Obținem x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Desfă paranteza 4x · (2x + 7). Acum avem necunoscută și în fața parantezei, și în interiorul ei, iar în fața parantezei avem o expresie mai complicată. Nici asta nu e o problemă: înmulțim conținutul parantezei cu 4x astfel: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Scoaterea simplă a factorului comun

Scoaterea factorului comun este procedeul invers desfacerii parantezei. La început avem, de exemplu, expresia 10x + 5. Dacă găsim un număr la care putem împărți în mod convenabil ambii termeni, putem scoate acest număr ca factor comun. În expresia noastră va fi numărul 5, pentru că 10x : 5 = 2x și 5 : 5 = 1. Putem scrie deci că

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Dacă desfacem la loc paranteza 5 · (2x + 1), obținem din nou 10x + 5. Scopul scoaterii factorului comun este de obicei să simplificăm expresia dată sau să o aducem la forma unui produs, ca să o putem simplifica într-o fracție.

Scoaterea necunoscutei ca factor comun

Adesea se scoate chiar necunoscuta, nu doar un număr. Așadar, dacă avem expresia 3x² + 7x, putem scoate factor comun pe x, adică împărțim ambii termeni la x, punem paranteze și înmulțim paranteza cu x. Obținem 3x² + 7x = x · (3x + 7).

De obicei încercăm să scoatem cât „mai mult” posibil, deci dacă avem expresia 8x² + 12x, putem scoate doar x și obținem 8x² + 12x = x · (8x + 12), dar vedem că din paranteză am mai putea scoate numărul 4. Putem face asta acum, ulterior, și obținem: x · (4 · (2x + 3)). Parantezele exterioare se pot elimina și obținem: 4x · (2x + 3).

La același rezultat am fi ajuns însă dacă din expresia inițială 8x² + 12x am fi scos direct factorul 4x. Scris pe larg, am obține

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2:4x+12x:4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Scoaterea factorului comun din expresii mai complicate

Până acum am scos factor comun doar din expresii cu doi termeni. Dar putem scoate factor comun și din expresii mai lungi. De exemplu, din 7x³ + 5x² + 2x putem scoate x și obținem x · (7x² + 5x + 2).

Nici nu trebuie să scoatem mereu doar un număr „frumos”, putem scoate orice. De exemplu, din expresia 6x + 7 putem scoate numărul 2, dar obținem un rezultat neplăcut, pentru că trebuie să împărțim ambii termeni la doi. La 6x iese ușor, pentru că 6x : 2 = 3x, dar la numărul 7 nu iese prea frumos: 7 : 2 = 3,5. Obținem astfel expresia: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Exemple rezolvate

• Scoate factor comun cât mai convenabil din 25x + 45. La prima vedere se observă că putem scoate numărul 5, deci obținem 5 · (5x + 9).

• Simplifică fracția

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Mai întâi scoatem x factor comun la numărătorul fracției. Obținem la numărător x · (3x + 7). Acum putem simplifica toată fracția cu x.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Scoate factor comun cât mai convenabil din −2x² − 8x. Aici avem pentru prima dată numere negative. Nu e nicio problemă: așa cum am scos factor comun numere pozitive, putem scoate și numere negative. Putem scoate imediat, dintr-o dată, factorul −2x. Obținem

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$